Kezdőlap


Feladat:	410. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balatoni F. , Csáki Endre , Darvas I. , Durst E. , Kántor S. , Rédly E. , Rejtő P. , Révész P. , Schmidt E. , Szabó J. , Szilárd Miklós , Tilesch F. , Vida Piroska , Zatykó L. , Zobor E.
Füzet:	1952/május, 138 - 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Számtani sorozat, Mértani sorozat, Szinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 410. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyenek a háromszög szögei $α - δ$ , $α$ , $α + δ$ , oldalai $\frac{a}{q}$ , $a$ , $a q$

\begin{matrix} (α - δ) + α + (α + δ) = 180^{\circ}, \\ 3 α = 180^{\circ}, \\ α = 60^{\circ} \end{matrix}

α

-val szemben fekvő oldal nyilván a középső hosszúságú

a

. Felírva a cosinus-tételt:

\begin{matrix} a^{2} = \frac{a^{2}}{q^{2}} + a^{2} q^{2} - 2 a^{2} cos 60^{\circ} \end{matrix}

a^{2}

-tel osztva,

q^{2}

-tel szorozva, a

cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}

-et helyettesítve:

\begin{matrix} q^{2} = 1 + q^{4} - q^{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} {(1 - q^{2})}^{2} = 0 \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} q = 1 \end{matrix}

(

q

a feladat természetéből csak pozitív lehet).
A háromszög tehát csak egyenlő oldalú lehet.

Szilárd Miklós (Balassagyarmat, Balassa g. III. o. t.)

II. Megoldás: A szögek és az oldalak jelölése az előbbi.

\begin{matrix} α = 60^{\circ} . \end{matrix}

Kétszer alkalmazva a sinus-tételt:

\begin{matrix} \frac{sin 60^{\circ}}{sin (60^{\circ} + δ)} = \frac{a}{a q} = \frac{1}{q}, \frac{sin (60 - δ)}{sin 60^{\circ}} = \frac{\frac{a}{q}}{a} = \frac{1}{q} . \end{matrix}

Ebből:

\begin{matrix} sin^{2} 60^{\circ} = sin (60^{\circ} + δ) \cdot sin (60^{\circ} - δ) = \\ = (sin 60^{\circ} cos δ + cos 60^{\circ} sin δ) (sin 60^{\circ} cos δ - cos 60^{\circ} sin δ) = \\ = sin^{2} 60^{\circ} cos^{2} δ - cos^{2} 60^{\circ} sin^{2} δ . \\ sin^{2} 60^{\circ} = \frac{\sqrt[]{3}}{2}, cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

Ezt helyettesítve, majd

4

-gyel szorozva

\begin{matrix} 3 = 3 cos^{2} δ - sin^{2} δ = 4 cos^{2} δ - 1, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} cos^{2} δ = 1, δ = 0^{\circ} . \end{matrix}

A fenti követelménynek megfelelő háromszög csak a szabályos háromszög.

Csáki Endre (Győr, Révai g. III. o. t.)