Kezdőlap


Feladat:	409. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kántor Sándor , Papp I. , Szabó D. , Szabó J. , Zatykó L..
Füzet:	1952/május, 137 - 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szögfelező egyenes, Hossz, kerület, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 409. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először bizonyítjuk a b) állítást.
A cosinus-tételt alkalmazva az $A F C$ és $B C F$ háromszögekre,
(ahol $F$ a szögfelező és az $a$ oldal metszéspontja)

\begin{matrix} u^{2} = f_{a}^{2} + c^{2} - 2 c f_{a} cos \frac{α}{2}, \\ v^{2} = f_{a}^{2} + b^{2} - 2 b f_{a} cos \frac{α}{2} . \end{matrix}

Innen:

\begin{matrix} cos \frac{α}{2} = \frac{f_{a}^{2} + c^{2} - u^{2}}{2 c f_{a}} = \frac{f_{a}^{2} + b^{2} - v^{2}}{2 b f_{a}}, \\ (f_{a}^{2} + c^{2} - u^{2}) b = (f_{a}^{2} + b^{2} - v^{2}) c, \\ f_{a}^{2} (b - c) = b^{2} c - b c^{2} + b u^{2} - c v^{2} = b c (b - c) + b u^{2} - c v^{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} f_{a}^{2} = b c - \frac{c v^{2} - b u^{2}}{b - c} = b c - u v \frac{c \frac{v}{u} - b \cdot \frac{u}{v}}{b - c} . \end{matrix}

A szögfelező a szöggel szemben fekvő oldalt a szöget bezáró oldalak arányában osztja, vagyis:

\frac{u}{v} = \frac{c}{b}

.
Ezt felhasználva:

\begin{matrix} f_{a}^{2} = b c - u v \frac{c \frac{b}{c} - b \cdot \frac{c}{b}}{b - c} = b c - u v . \end{matrix}

f_{a}

hosszának kiszámításához kifejezzük

u

és

v

értékét a háromszög oldalával:

\begin{matrix} \frac{u}{v} = \frac{c}{b} és u + v = a, \end{matrix}

amiből

v = a - u

és

\frac{u}{a - u} = \frac{c}{b}

u b = c a - c u

,
és így

u = \frac{a c}{b + c}

; hasonlóképpen

v = \frac{a b}{b + c}

u

és

v

kapott értékeit

f_{a}

kifejezésébe behelyettesítve:

\begin{matrix} f_{a}^{2} = b c - \frac{a^{2} b c}{{(b + c)}^{2}} = \frac{b c [{(b + c)}^{2} - a^{2}]}{{(b + c)}^{2}} = \\ = \frac{b c (b + c + a) (b + c - a)}{{(b + c)}^{2}} . \end{matrix}

A szokásos jelöléssel

a + b + c = 2 s

, valamint

- a + b + c = 2 (s - a)

, és így

\begin{matrix} f_{a} = \frac{2 \sqrt[]{b c s (s - a)}}{b + c} . \end{matrix}

Hasonlóképpen

\begin{matrix} f_{b} = \frac{2 \sqrt[]{a c s (s - b)}}{a + c} és f_{c} = \frac{2 \sqrt[]{a b s (s - c)}}{a + b} \end{matrix}

Kántor Sándor (Debrecen, Ref. koll. III. o. t.)