Kezdőlap


Feladat:	407. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balatoni F. , Deseő Zoltán , Reichlin V. , Schmidt E.
Füzet:	1952/május, 134 - 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szögfelező egyenes, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 407. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A feladat megoldásával egyenlő értékű annak bebizonyítása, hogy az $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ kifejezés értéke független a szelő irányától.

Tükrözzük a szelőt a szögfelezőre

(A^{*}, B^{*})

és rajzoljunk

F

-en át

O F

-re merőleges egyenest, ez a

B F A^{*}

szög szögfelezője lesz és metszi a szög

O B

szárát a

C

pontban,

O C

távolságot jelöljük

c

-vel,

O A^{*} = a

-val a tükrözés miatt.
Alkalmazzuk

B F A^{*}

háromszögre a szögfelező ismeretes tételét ( ‐ a szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja ‐ )

\begin{matrix} C B : C A^{*} = B F : A^{*} F, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} (c - b) : (a - c) = B F : A^{*} F . \end{matrix}

Hasonló tétel érvényes a háromszög

O F

külső szögfelezőjére

\begin{matrix} O B : O A^{*} = B F : A^{*} F, azaz b : a = B F : A^{*} F . \end{matrix}

E két aránypár összehasonlításával a

\begin{matrix} \frac{c - b}{a - c} = \frac{b}{a}, \end{matrix}

ebből némi átrendezéssel az

\begin{matrix} a c + b c = 2 a b \end{matrix}

egyenlethez jutunk, melyet

a b c

-vel végigosztva,

\begin{matrix} \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{2}{c}, \end{matrix}

tehát független a szelő irányától.

II. megoldás. Trigonometriai úton is kimutathatjuk, hogy

\frac{1}{a} + \frac{1}{b}

nem függ a szelő irányától. Fejezzük ki az

O A B_{▵}

területét

O A F_{▵}

és

O F B_{▵}

háromszögek területének összegeként (jelöljük

O F

-et

f

-fel)

\begin{matrix} \frac{a f sin γ}{2} + \frac{b f sin γ}{2} = \frac{a b sin 2 γ}{2} \end{matrix}

sin 2 γ = 2 sin γ cos γ

, melyet behelyettesítve, egyszerűsítés és

a b f sin γ

-val való végigosztás után az

\begin{matrix} \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{2 cos γ}{f} \end{matrix}

egyenlethez jutunk, ebből már kiolvashatjuk, hogy

\frac{1}{a} + \frac{1}{b}

független a szelő irányától, mert sem

f

, sem

γ

nem függ tőle.

Deeső Zoltán (Bp., I. László g. II. o. t.)