Kezdőlap


Feladat:	406. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Reichlin V. , Schmidt E. , Sohár P.
Füzet:	1952/május, 133 - 134. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Húrnégyszögek, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 406. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kívánt tulajdonságú húrnégyszögek közül próbáljuk azt megszerkeszteni, melynek egyik oldala $a$ , ennek $a$ -val szembenfekvő oldala $d$ , az $A B$ oldal $A$ melletti szakaszával $γ$ szöget (következésképpen az $A C$ oldal megfelelő szakaszával $β$ szöget) zár be. Rajzoljunk egy ilyen egyenest és szerkesszük meg a vele párhuzamos egyenesek közül azt, amelyik a háromszög területét a kívánt $1 : 2$ arányban osztja.

Tekintsük a

B

csúcsból kiinduló és a

b

oldalt

1 : 2

arányban osztó egyenest, ez a területet is

1 : 2

arányban osztja és ismeretes miként lehet ezt az arányos osztást

a

-val párhuzamos egyenessel is végrehajtani.¹ Erre a szerkesztésre vezethetjük vissza a feladat megoldását, ha

B

-n át

d

-vel párhuzamost húzunk,

A C

-t meghosszabbítjuk és az

A B C_{▵}

-höz hozzácsatoljuk az így nyert

T_{3}

háromszöget, melynek harmadik csúcsát jelöljük

D

-vel.

Ugyanis az

A B D_{▵}

-et

B D

-vel párhuzamos egyenessel

T_{1} : (T_{2} + T_{3})

arányban osztva, az a

P Q

egyenes (eredményvonallal jelöltük)

A B C_{▵}

-et is a kívánt arányban osztja.
Figyelembe véve, hogy

A P Q_{▵} \sim A C B_{▵}

(mert a szögeik egyenlők) megfelelő oldalaik négyzete úgy aránylik egymáshoz, mint területeik. Tehát pl.

A Q^{2} : A B^{2} = 1 : 3

, következésképpen

\begin{matrix} A Q = \frac{A B}{\sqrt[]{3}} = \sqrt[]{A B \cdot \frac{A B}{3}}, \end{matrix}

eszerint

A Q

-t úgy is megszerkeszthetjük, hogy az

A B

fölé rajzolt Thales-kört az

A B

-re annak egyharmadában emelt merőlegessel elmetsszük.
Az

a

oldalból kiindulva, ahogy tettük, megoldást csak akkor kapunk, ha

A Q = \frac{c}{\sqrt[]{3}} < b

és

A P = \frac{b}{\sqrt[]{3}} < c

.
Ezek közül az egyik mindig fennáll, pl. ha

c > b

akkor

\frac{b}{\sqrt[]{3}} < c

. Általában ha

c > b > a

, akkor nem állhat fenn egyidejűleg, hogy

c \geq b \sqrt[]{3}

és

b \geq a \sqrt[]{3}

, mert e két egyenlőtlenség szerint

c > 3 a

, azaz

\frac{c}{3} \geq a

és

\frac{c}{\sqrt[]{3}} \geq b

; ezekből összeadással nyerjük, hogy

c \frac{1 + \sqrt[]{3}}{3} \geq a + b

ami ellentmondás, mert

\frac{1 + \sqrt[]{3}}{3} < 1

és így

c > a + b

lenne.
Ha pedig az ellentmondásra vezető egyenlőtlenségek egyike helyett fennáll pl.

b < a \sqrt[]{3}

, akkor a

c > b > a

feltétel szerint

a < b \sqrt[]{3}

is fennáll és a két egyenlőtlenség értelmében a

c

oldal fölé lehet megszerkeszteni a kívánt húrnégyszöget.

¹L. a gimn. II. o. Matematika tankönyv 72‐74. oldalán.