Kezdőlap


Feladat:	405. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Deeső Z. , Schmidt Eligius , Tomor B.
Füzet:	1952/május, 132 - 133. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Körérintési szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 405. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyenek a külső érintő érintési pontjai $E_{1}$ és $E_{2}$ , a belső érintőké $F_{1}$ , $F_{2}$ illetőleg $G_{1}$ , $G_{2}$ . A külső érintőnek a belső érintőkkel való metszéspontjai $A$ és $B$ .

Bebizonyítandó, hogy

\begin{matrix} A E_{1} = B E_{2} . \\ A E_{1} = E_{1} E_{2} - A E_{2}, \\ B E_{2} = E_{1} E_{2} - B E_{1} . & (1) \end{matrix}

Valamely külső pontból a körhöz húzott érintő darabok egyenlők, tehát

\begin{matrix} A E_{2} = A F_{2} = A F_{1} + F_{1} F_{2} = A E_{1} + F_{1} F_{2} . \\ B E_{1} = B G_{1} = B G_{2} + G_{1} G_{2} = B E_{2} + G_{1} G_{2} = B E_{2} + F_{1} F_{2} . \end{matrix}

A E_{2}

és

B E_{1}

ezen értékeit behelyettesítve (1)-be, adódik:

\begin{matrix} A E_{1} = E_{1} E_{2} - A E_{1} - F_{1} F_{2}; \\ B E_{2} = E_{1} E_{2} - B E_{2} - F_{1} F_{2} . \end{matrix}

Innen

2 A E_{1} = E_{1} E_{2} - F_{1} F_{2} = 2 B E_{2}

, vagyis

\begin{matrix} A E_{1} = B E_{2} . \end{matrix}

II. megoldás: Jelöljük (az eddigi jelöléseket megtartva) a belső érintők metszéspontját

C

-vel.

E_{1}

és

E_{2}

A B C_{▵}

-et kívülről érintő körök érintési pontjai az

A B

oldalon és így

A E_{2} = B E_{1} = s

, ahol

s

A B C_{▵}

félkerülete.

\begin{matrix} A E_{2} = A B + B E_{2}, \\ B E_{1} = A B + A E_{1}, miből A E_{1} = B E_{2} . \end{matrix}

Schmidt Eligius (Bp., Fürst Sándor g. II. o. .t.)