Kezdőlap


Feladat:	404. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balatoni F. , Beke Éva , Beke Mária , Grätzer Gy. , Reichlin V. , Tahy P.
Füzet:	1952/május, 130 - 132. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb rendű számtani sorozat, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 404. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk fel a szomszédos tagok különbségeinek sorozatát, az ú. n. differenciasorozatot:

\begin{matrix} 8, 6, 16, 10, 24, 14, 32, 18, 40, ... \end{matrix}

A differenciasorozat páratlan sorszámú tagjai a

8

16

24

...

számtani sorozatot, a páros sorszámúak a

6

10

14

...

számtani sorozatot alkotják. (1) tagjai tehát ilyen alakban állíthatók elő:

\begin{matrix} a_{n} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 8 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 8 + 5 \cdot 2 + 3 \cdot 8 + ... \end{matrix}

n

páratlan, azaz

2 k + 1

alakú,

\begin{matrix} a_{2 k + 1} = 2 [(1 + 3 + ... + (2 k + 1)] + 8 (1 + 2 + 3 + ... + k) . \end{matrix}

A számtani sorokat összegezve:

\begin{matrix} a_{2 k + 1} = 2 {(k + 1)}^{2} + 8 \cdot \frac{k^{2} + k}{2} = 6 k^{2} + 8 k + 2. \end{matrix}

Páratlan

n

-ekre tehát, mivel

n = 2 k + 1

k

helyébe

\frac{n - 1}{2}

-t téve,

\begin{matrix} a_{n} = 6 {(\frac{n - 1}{2})}^{2} + 8 \frac{n - 1}{2} + 2, \\ vagyis a_{n} = \frac{3}{2} n^{2} + n - \frac{1}{2} & (2) \end{matrix}

Páros

n

-ekre, azaz ha

n = 2 k

\begin{matrix} a_{2 k} = 2 [(1 + 3 + ... + (2 k - 1)] + 8 (1 + 2 + ... + k) . \end{matrix}

Az előbbi megfontolás alapján

\begin{matrix} a_{2 k} = 2 k^{2} + 8 \frac{k^{2} + k}{2} = 6 k^{2} + 4 k . \end{matrix}

Itt

n = 2 k

miatt

k

helyébe

\frac{n}{2}

-t kell írnunk, s így páros

n

-ekre:

\begin{matrix} a_{n} = 6 {(\frac{n}{2})}^{2} + 4 \cdot \frac{n}{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} a_{n} = \frac{3}{2} n^{2} + 2 n . \end{matrix}

(3)

(3) értéke

n + \frac{1}{2} = \frac{2 n + 1}{2}

-vel nagyobb, mint (2)-é. Adjunk (2)-höz

\frac{2 n + 1}{4}

-et. A kapott összegből páratlan

n

esetén

\frac{2 n + 1}{4}

-et le kell vonni, páros

n

esetén ugyanannyit hozzá kell adni, hogy helyes képletet kapjunk. Ezt a kettősséget egy

{(- 1)}^{n}

szorzótényezővel írhatjuk le.
Így

\begin{matrix} a_{n} = \frac{3}{2} n^{2} + n - \frac{1}{2} + \frac{2 n + 1}{4} + {(- 1)}^{n} \frac{2 n + 1}{4}, \end{matrix}

ami végleges alakban így írható:

\begin{matrix} a_{n} = 3 \frac{n^{2} + n}{2} - \frac{1}{4} + {(- 1)}^{n} \frac{2 n + 1}{4} . \end{matrix}