Kezdőlap


Feladat:	403. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csom Gy. , Durst E. , Kántor S. , Pergel J. , Rejtő P. , Szabó J. , Zobor E.
Füzet:	1952/május, 129 - 130. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 403. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Emeljük négyzetre az egyenlőtlenséget,

\begin{matrix} \frac{1}{4 n} < \frac{1^{2} \cdot 3^{2} ... {(2 n - 1)}^{2}}{2^{2} \cdot 4^{2} ... {(2 n)}^{2}} < \frac{1}{2 n} . \end{matrix}

A középső tört átírható ilyen alakba:

\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{2}}{2 \cdot 4} \cdot \frac{5^{2}}{4 \cdot 6} ... \frac{{(2 n - 1)}^{2}}{(2 n - 2) 2 n} \cdot \frac{1}{2 n} . \end{matrix}

(2)

(2) első és utolsó tényezőjének szorzata

\frac{1}{4 n}

.
A többi tényező

\begin{matrix} \frac{k^{2}}{(k - 1) (k + 1)} = \frac{k^{2}}{k^{2} - 1} = 1 + \frac{1}{k^{2} - 1} \end{matrix}

alakú, vagyis, mivel

k \geq 3

, e tényezők nagyobbak

1

-nél. Ezzel (1) baloldalát igazoltuk.
Más módon is átalakíthatjuk (1) középső törtjének négyzetét:

\begin{matrix} \frac{1 \cdot 3}{2^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4^{2}} ... \frac{(2 n - 3) (2 n - 1)}{{(2 n - 2)}^{2}} \cdot \frac{2 n - 1}{2 n} \cdot \frac{1}{2 n} \end{matrix}

(3)

(3) utolsó tényezője

\frac{1}{2 n}

az utolsó előtti nyilván

< 1

, sőt a (2)-re alkalmazott gondolat szerint az összes előbbiek is. Ezzel (1) jobboldalát is igazoltuk.