Kezdőlap


Feladat:	401. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Reichlin V. , Schmidt E.
Füzet:	1952/május, 126 - 127. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Oszthatósági feladatok, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 401. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt, hogy

\begin{matrix} {(a + b + c)}^{7} - a^{7} - b^{7} - c^{7} \end{matrix}

osztható

(a + b)

-vel, a következő átalakításból láthatjuk be:

\begin{matrix} {(a + b + c)}^{7} - a^{7} - b^{7} - c^{7} = {(a + b + c)}^{7} - c^{7} - (a^{7} + b^{7}) . \end{matrix}

Itt az első két tag, mint egyenlő kitevőjű hatványok különbsége, mindig osztható az alapok különbségével, ami

c - c = 0

miatt éppen

a + b

. De ezzel

a^{7} + b^{7}

is osztható, mert egyenlő kitevőjű hatványok összege osztható az alapok összegével, ha a kitevő páratlan, mint esetünkben is. Hasonlóan bizonyíthatjuk a

(b + c)

-vel és a

(c + a)

-val való oszthatóságot is. Minthogy az

a + b

b + c

és

c + a

tényezőknek általában nincs közös osztójuk, abból, hogy

{(a + b + c)}^{7} - a^{7} - b^{7} - c^{7}

külön-külön mindegyikükkel osztható, következik, hogy szorzatukkal is osztható.
Valamivel nehezebb a

7

-tel való oszthatóság kimutatása. Ehhez először azt igazoljuk, hogy

n^{7} - n

mindig osztható

7

-tel, bármilyen egész számot jelentsen is

n

. Megint tényezőkre bontásra törekszünk, mint az előző feladatban:

\begin{matrix} n^{7} - n = n (n^{6} - 1) = n (n^{3} - 1) (n^{3} + 1) . \end{matrix}

Ismeretes továbbá (és beszorzással is igazolható), hogy

\begin{matrix} n^{3} - 1 = (n - 1) (n^{2} + n + 1), \\ (n^{3} + 1) = (n + 1) (n^{2} - n + 1) . \end{matrix}

A jobboldali szorzatok háromtagú tényezőit így alakíthatjuk:

\begin{matrix} n^{2} + n + 1 = n^{2} + n - 6 + 7 = n^{2} + 3 n - 2 n - 6 + 7 = \\ = n (n + 3) - 2 (n + 3) + 7 = (n + 3) (n - 2) + 7 \end{matrix}

és hasonlóan

\begin{matrix} n^{2} - n + 1 = (n - 3) (n + 2) + 7. \end{matrix}

Ezeket felhasználva:

\begin{matrix} n^{7} - n = n (n - 1) [(n + 3) (n - 2) + 7] (n + 1) [(n - 3) (n + 2) + 7] = \\ = (n - 3) (n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + \\ + 7 (n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 3) + \\ + 7 (n - 3) (n - 1) n (+ 1) (n + 2) + 49 (n - 1) n (n + 1) \end{matrix}

Az utolsó

3

tagban szemmel látható a

7

-tel való oszthatóság, az első tag viszont

7

egymás után következő egész szám szorzata: e tényezők egyike biztosan

7

többszöröse, ennélfogva az egész szorzat is.
Ezekután eredeti számunkról úgy láthatjuk, be hogy osztható

7

-tel, ha a következőképpen alakítjuk át:

\begin{matrix} {(a + b + c)}^{7} - a^{7} - b^{7} - c^{7} = {\underset{︸}{{(a + b + c)}^{7} - (a + b + c)}}_{}^{} - \\ - {\underset{︸}{(a^{7} - a)}}_{}^{} - {\underset{︸}{(b^{7} - b)}}_{}^{} - {\underset{︸}{(c^{7} - c)}}_{}^{} \end{matrix}

A kapcsokkal együvé foglalt két-két tag különbsége az előbbiek szerint osztható

7

-tel, így összegük ill. különbségük is. De ha az eredeti szám osztható

(a + b) (b + c) (c + a)

-val is és

7

-tel is külön-külön, akkor ezek szorzatával is osztható, mivel általában nincs közös osztójuk. Éppen ezt kellett bebizonyítanunk.