Kezdőlap


Feladat:	400. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Grätzer György , Reichlin V. , Schmidt E. , Tahy P.
Füzet:	1952/május, 125 - 126. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 400. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt kell bizonyítanunk, hogy $a^{2^{n} + 1} - a$ osztható $2$ -vel és $5$ -tel, ha $n$ $2$ -nél nem kisebb egész szám.

\begin{matrix} a^{2^{n} + 1} - a = a (a^{2^{n}} - 1), \\ 2^{n} = 2^{2 + (n - 2)} = 2^{2} \cdot 2^{n - 2}, \end{matrix}

ahol

n - 2 \geq 0,

és így

a (a^{2^{n}} - 1) = a (a^{2^{2} \cdot 2^{n - 2}} - 1) = a [{(a^{2^{2}})}^{2^{n - 2}} - 1] =

\begin{matrix} = a [{(a^{4})}^{2^{n - 2}} - 1] . \end{matrix}

A szögletes zárójelben álló kifejezés egyenlő kitevőjű hatványok különbségének is tekinthető, hiszen

1 = 1^{2^{n - 2}}

, ez a különbség pedig mindig osztható az alapok különbségével, esetünkben

(a^{4} - 1)

-gyel, ennélfogva eredeti számunk

a (a^{4} - 1)

-gyel.
Ha kimutatjuk, hogy már ez utóbbi szorzatunk:

a (a^{4} - 1)

is osztható 2-vel és 5-tel, akkor nyilván eredeti számunk is osztható ezekkel, azaz csakugyan 0-ra végződik.
Ámde

a^{4} - 1 = (a^{2} - 1) (a^{2} + 1) = (a - 1) (a + 1) (a^{2} + 1)

,

és

a^{2} + 1 = a^{2} - 4 + 5 = (a - 2) (a + 2) + 5

,

tehát

a (a^{4} - 1) = a (a - 1) (a + 1) (a^{2} + 1) = a (a - 1) (a + 1) [(a - 2) (a + 2) + 5] =

\begin{matrix} = (a - 2) (a - 1) a (a + 1) (a + 2) + 5 (a - 1) a (a + 1) . \end{matrix}

Sikerült tehát

a (a^{4} - 1)

szorzatunkat két többtényezős szorzat összegére bontanunk; ezeken könnyebben vizsgálhatjuk az oszthatóságot. Az első szorzat öt egymás után következő szám szorzata: ennek tényezői között biztosan találunk

2

-vel oszthatót és legalább egy

5

-tel oszthatót is. A második szorzat szemmel láthatóan

5

többszöröse, de az utána álló

3

egymást követő szám közül is legalább az egyik páros. Ezzel igazoltuk állításunkat.

Megjegyzés: Azt, hogy az

a (a^{4} - 1)

szorzat

2

-vel is és

5

-tel is osztható, másképpen is bizonyíthatjuk. Már láttuk, hogy

\begin{matrix} a (a^{4} - 1) = (a - 1) a (a + 1) (a^{2} + 1) \end{matrix}

2

-vel való oszthatóság egy pillanatig sem kétséges, hiszen pl. már

a (a + 1)

biztosan páros. Ha

a

5 k + 1

5 k

ill.

5 k - 1

alakú, akkor rendre az első, második ill. harmadik tényezője osztható

5

-tel a jobboldali szorzatnak. Ha pedig

a = 5 k \pm 2

, akkor

\begin{matrix} a^{2} + 1 = 25 k^{2} \pm 20 k + 4 + 1 = 5 K \end{matrix}

Grätzer György (Bp., Berzsenyi g. II. o. t.)