Kezdőlap


Feladat:	396. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ambrus G. , Balatoni Ferenc , Beke Éva , Beke Mária , Deseő Z. , Fuchs T. , Grätzer Gy. , Halmágyi G. , Kézdy P. , Marik M. , Mohos B. , Németh L. , Plack F. , Reichlin Viktor , Schmidt E. , Sohár P. , Tahy P. , Tomor B. , Világhy T.
Füzet:	1952/április, 86 - 87. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Algebrai átalakítások, Számkörök, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 396. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) A számláló kisebbítendője $846267$ -tel nagyobb a nevező első tagjánál, de ha kivonjuk belőle a kijelölt $423133$ -at, akkor, mivel $423133 + 423134 = 846267$ , pontosan ugyanazt a számot kapjuk a számlálóban, mint ami a nevezőben áll, így a tört értéke $1$ .

Reichlin Viktor (Bp. V., Piarista g. II. o. t.)

b) Az

\frac{52367}{47633}

tört számlálójának és nevezőjének összege éppen

100 000

. Ez nyilván ugyanakkora marad, ha ugyanazt a számot vonjuk ki a számlálóból, mint amelyiket a nevezőhöz hozzáadjuk. Az ilyen törtek közül annak az értéke

\frac{17}{83}

, amelyiknek számlálója

17 000

és nevezője

83 000

, mert hiszen itt tulajdonképpen az előbbi tört számlálójának és nevezőjének összegét kell

17 : 83

arányban két részre osztanunk. Hogy a

\frac{17000}{83000}

törtet megkapjuk, az eredeti tört számlálójából

52367 - 17000 = 35367

-et kell kivonnunk és persze ugyanennyit hozzáadunk a nevezőjéhez.

c) Az adott törtek összegét az alábbi átalakítás felhasználásával számíthatjuk ki röviden:

\begin{matrix} \frac{7}{2 \cdot 9} + \frac{7}{9 \cdot 16} + \frac{7}{16 \cdot 23} + ... + \frac{7}{65 \cdot 72} = \frac{9 - 2}{2 \cdot 9} + \frac{16 - 9}{9 \cdot 16} + \frac{23 - 16}{16 \cdot 23} + ... + \frac{72 - 65}{65 \cdot 72} = \\ = \frac{9}{2 \cdot 9} - \frac{2}{2 \cdot 9} + \frac{16}{9 \cdot 16} - \frac{9}{9 \cdot 16} + \frac{23}{16 \cdot 23} - \frac{16}{16 \cdot 23} + ... + \frac{72}{65 \cdot 72} - \frac{65}{65 \cdot 72} = \\ = \frac{1}{2} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{16} + \frac{1}{16} - \frac{1}{23} + ... + \frac{1}{65} - \frac{1}{72} . \end{matrix}

Az utolsó összevonásban a két szélső tag kivételével a többiek páronként megsemmisítik egymást, így az egész összegből csupán

\begin{matrix} \frac{1}{2} - \frac{1}{72} = \frac{36}{72} - \frac{1}{72} = \frac{35}{72} \end{matrix}

marad.

Balatoni Ferenc (Bp. VII., Rákóczi közg. középisk. II. o. t.)