Kezdőlap


Feladat:	395. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1952/november, 92 - 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Jensen-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 395. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlőtlenség közvetlenül következik az ${log}_{}^{a ⌣} (a^{x} + a^{y})$ függvény konvex voltából. Fejezzük ki $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ , $a_{k}$ , $b_{1}$ , $b_{2}$ , $...$ , $b_{k}$ -t $a$ alapú logaritmusaikkal $(a > 1)$ :

\begin{matrix} a_{1} = a^{x_{1}}, a_{2} = a^{x_{2}}, l d o t s, a_{k} = a^{x_{k}}; \end{matrix}

Ekkor

{log}_{}^{a ⌣} (a^{x} + a^{y})

-ra felírva a

k

tagú szimmetrikus Jensen‐egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} \frac{log (a^{x_{1}} + a^{x_{2}}) + log (a^{x_{2}} + a^{y_{1}}) + ... + log (a^{x_{k}} + a^{y_{k}})}{k} ≧ \\ ≧ log (a^{\frac{x_{1} + x_{2} + ... + x_{k}}{k}} + a^{\frac{y_{1} + y_{2} + ... + y_{k}}{k}}) \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} log \sqrt[k]{(a^{x_{1}} + a^{y_{1}}) (a^{x_{2}} + a^{y_{2}}) ... (a^{x_{k}} + a^{y_{k}})} ≧ log (\sqrt[k]{a^{x_{1}} a^{x_{2}} ... a^{x_{k}}} + \sqrt[]{a^{y_{1}} a^{y_{2}} ... a^{y_{k}}}), \end{matrix}

és tekintettel az

x

-ek és

y

-ok jelentésére ez a bizonyítandó egyenlőtlenség logaritmusa.