Kezdőlap


Feladat:	388. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kántor S.
Füzet:	1952/november, 91 - 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Terület, felszín, Húrsokszögek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 388. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a kör sugarát $r$ -rel, az első sokszög oldalaihoz tartozó középponti szögeket $2 α_{1}$ , $2 α_{2}$ , $...$ , $2 α_{k}$ -val, a másodikhoz tartozókat $2 β_{1}$ , $2 β_{2}$ , $2 β_{l}$ -lel. A könnyebb írás kedvéért vezessük be a $β_{l + 1} = ... = β_{k} = 0$ jelölést. Mivel

\begin{matrix} sin α_{i} = \frac{a_{i}}{r} (i = 1, 2, ..., k), \end{matrix}

és

\begin{matrix} sin β_{j} = \frac{b_{j}}{r} (j = 1, 2, ..., l), \end{matrix}

így a feltételekből következik, hogy

α_{1} + α_{2} + ... α_{i} < β_{1} + β_{2} + ... + β_{i}

, ha

i = 1, 2, ..., k - 1

\begin{matrix} α_{1} + α_{2} + ... α_{k} = β_{1} + β_{2} + ... + β_{k} (= 2 π) . \end{matrix}

A két sokszög kerülete

K_{1} = 2 r (sin α_{1} + sin α_{2} + ... + sin α_{k})

K_{2} = 2 r (sin β_{1} + sin β_{2} + ... + sin β_{1}) = 2 r (sin β_{1} + sin β_{2} + ... + sin β_{k})

, területük pedig

\begin{matrix} T_{1} = \frac{r^{2}}{2} (sin 2 α_{1} + sin 2 α_{2} + ... + sin 2 α_{k}), \\ T_{2} = \frac{r^{2}}{2} (sin 2 β_{1} + sin 2 β_{2} + ... + sin 2 β_{l}) = \frac{r^{2}}{2} (sin 2 β_{1} + sin 2 β_{2} + ... + sin 2 β_{k}) . \end{matrix}

Mivel

sin x

a (0,

π

) intervallumban alulról konkáv (és a kérdéses szögek mind kisebbek

\frac{π}{2}

-nél,) így a 387. feladatban bizonyított egyenlőtlenség megfelelőjét alkalmazva kapjuk, hogy

\begin{matrix} sin α_{1} + sin α_{2} + ... + sin α_{k} > sin β_{1} + sin β_{2} + ... + sin β_{k} \end{matrix}

és

\begin{matrix} sin 2 α_{1} + sin 2 α_{2} + ... + sin 2 α_{k} > sin 2 β_{1} + sin 2 β_{2} + ... + sin β_{k}, \end{matrix}

azaz az első sokszög kerülete is, területe is nagyobb, mint a másodiké.