Kezdőlap


Feladat:	375. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kántor S. , Rejtő P. , Zatykó L.
Füzet:	1952/november, 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrsokszögek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 375. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek egy tetszőleges sokszög oldalai $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ , $a_{k}$ , a hozzájuk tartozó középponti szögek $α_{1}$ , $α_{2}$ , $...$ , $α_{k}$ , a kör sugarát válasszuk mértékegységnek. Ekkor a területre két oldalból és a közbezárt szögből):

\begin{matrix} 2 T = sin α_{1} + sin α_{2} + ... + sin α_{k}, \end{matrix}

A kerületre pedig

\begin{matrix} K = 2 (sin \frac{α_{1}}{2} + sin \frac{α_{2}}{2} + ... + sin \frac{α_{k}}{2}) . \end{matrix}

Feltehetjük, hogy a kör középpontja a poligon belsejében van, mert könnyen látható, hogy ellenkező esetben a középponthoz legközelebbi oldalt a középpontra tükrözve olyan poligont kapunk, melynek területe is, kerülete is nagyobb mint az eredetié volt.
Ez esetben az

α

-k

180^{\circ}

-nál kisebbek. Mivel ilyen szögekre a

sin x

függvény konkáv, kapjuk, hogy

\begin{matrix} 2 T = sin α_{1} + sin α_{2} + ... sin α_{k} ≦ k sin \frac{α_{1} + α_{2} + ... + α_{k}}{k} = k sin \frac{360^{\circ}}{k} \end{matrix}

és

\begin{matrix} K = 2 (sin \frac{α_{1}}{2} + sin \frac{α_{2}}{2} + ... + sin \frac{α_{k}}{2}) ≦ \\ ≦ 2 k sin (\frac{α_{1} + α_{2} + ... + α_{k}}{2}) = 2 k sin \frac{180^{\circ}}{k} . \end{matrix}

A jobboldalon a szabályos

k

-szög területének kétszerese, ill. a kerülete áll, így azt kaptuk, hogy a szabályos sokszögnek lesz a területe is kerülete is a legnagyobb.