Kezdőlap


Feladat:	374. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kántor S. , Zatykó L.
Füzet:	1952/november, 86 - 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenségek, Függvényvizsgálat, Jensen-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 374. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kéttagú szimmetrikus Jensen‐egyenlőtlenség két oldalának különbségét képezve

\begin{matrix} \frac{{log}_{}^{a ⌣} (1 + a^{x_{1}}) + {log}_{}^{a ⌣} (1 + a^{x_{2}})}{2} - {log}_{}^{a ⌣} (1 + a^{\frac{x_{1} + x_{2}}{2}}) = \\ = \frac{1}{2} {log}_{}^{a ⌣} \frac{1 + a^{x_{1}} + a^{x_{2}} + a^{x_{1} + x_{2}}}{1 + 2 a^{\frac{x_{1} + x_{2}}{2}} + a^{x_{1} + x_{2}}} > 0, \\ ha x_{1} \neq x_{2} és a > 1, mert a^{x_{1}} + a^{x_{2}} > 2 \sqrt[]{a^{x_{1}} a^{x_{2}}} = 2 a^{\frac{x_{1} + x_{2}}{2}}, \end{matrix}

tehát

{log}_{}^{a ⌣} (1 + a^{x})

konvex.

Másrészt

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{1 + x_{1}^{2}} + \sqrt[]{1 + x_{2}^{2}}}{2} - \sqrt[]{1 + {(\frac{(x_{1} + x_{2})}{2})}^{2}} = \\ = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(\sqrt[]{1 + x_{1}^{2}} + \sqrt[]{1 + x_{2}^{2}})}^{2} - 4 [1 + {(\frac{(x_{1} + x_{2})}{2})}^{2}]}{\sqrt[]{1 + x_{1}^{2}} + \sqrt[]{1 + x_{2}^{2}} + 2 \sqrt[]{1 + {(\frac{(x_{1} + x_{2})}{2})}^{2}}} . \end{matrix}

Itt a számláló

\begin{matrix} 2 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 \sqrt[]{(1 + x_{1}^{2}) (1 + x_{2}^{2})} - 4 - (x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) = \\ = 2 [\sqrt[]{1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + {(x_{1} x_{2})}^{2}} - (1 + x_{1} x_{2})] > \\ > 2 [\sqrt[]{1 + 2 x_{1} x_{2} + {(x_{1} x_{2})}^{2}} - (1 + x_{1} x_{2})] = 0, \end{matrix}

x_{1}

és

x_{2}

különböző számok. Így

\sqrt[]{1 + x_{2}}

is konvex.

Írjuk fel a két függvényre a

k

tagú szimmetrikus Jensen-egyenlőtlenséget (melynek helyessége következik a kéttagú egyenlőtlenség teljesüléséből).

\begin{matrix} \frac{{log}_{}^{a ⌣} (1 + a^{x_{1}}) + {log}_{}^{a ⌣} (1 + a^{x_{2}}) ... + {log}_{}^{a ⌣} (1 + a^{x_{k}})}{k} ≧ {log}_{}^{a ⌣} (1 + a^{\frac{x_{1} + x_{2} + ... + x_{k}}{k}}) . \end{matrix}

Legyen

x_{1} = {log}_{}^{a ⌣} a_{1}

x_{2} = {log}_{}^{a ⌣} a_{2}

...

x_{k} = {log}_{}^{a ⌣} a_{k}

, és keressük azokat a számokat, melyek logaritmusai állnak a két oldalon. Ekkor kapjuk a

\begin{matrix} \sqrt[k]{(1 + a_{1}) (1 + a_{2}) ... (1 + a_{k})} ≧ 1 + \sqrt[k]{a_{1} a_{2} ... a_{k}} \end{matrix}

egyenlőtlenséget. Egyenlőség csak az

a_{1} = a_{2} = ... = a_{k}

esetben következik be
Az

\sqrt[]{1 + x^{2}}

függvényre vonatkozóan

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{1 + x_{1}^{2}} + \sqrt[]{1 + x_{2}^{2}} + ... + \sqrt[]{1 + x_{k}^{2}}}{k} ≧ \sqrt[]{1 + {(\frac{x_{1} + x_{2} + ... + x_{k}}{k})}^{2}}, \end{matrix}

vagy

k

-val átszorozva és a két oldalt felcserélve és

x_{1}

x_{2}

...

x_{k}

helyett

a_{1}

a_{2}

...

a_{k}

-t téve:

\begin{matrix} \sqrt[]{k^{2} + {(a_{1} + a_{2} + ... + a_{k})}^{2}} ≦ \sqrt[]{1 + a_{1}^{2}} + \sqrt[]{1 + a_{2}^{2}} + ... + \sqrt[]{1 + a_{k}^{2}} . \end{matrix}