Kezdőlap


Feladat:	371. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kántor S. , Reichlin V. , Zatykó L. , Zobor E.
Füzet:	1952/november, 85 - 86. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglatest, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 371. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

^{$^{*}$} Legyenek a téglatest egy csúcsba futó élei $a$ , $b$ , $c$ . Ekkor
a) a felszín:

\begin{matrix} F = 2 (a b + b c + c a) ≧ 6 \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} = 6 K^{\frac{2}{3}} \end{matrix}

a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség szerint. Mivel az

F

felszín állandó, a

K

köbtartalom akkor a legnagyobb, ha

2 / 3

-ik hatványának 6-szorosa egyenlő a felszínnel. Ez csak akkor lehet, ha

a b = b c = c a

, vagyis a kockánál.

b) Az élek

E

összhosszára

\begin{matrix} E = 4 (a + b + c) ≧ 12 \sqrt[3]{a b c} = 12 K^{\frac{1}{3}} \end{matrix}

c) Az átló

d

hosszára a négyzetes középre vonatkozó egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} d = \sqrt[]{a^{2} + b^{2} + c^{2}} ≧ \sqrt[]{3} \frac{a + b + c}{3} = \frac{E}{4 \sqrt[]{3}} ≧ \sqrt[]{3} K^{\frac{1}{3}} . \end{matrix}

Az a) esethez hasonlóan következik az egyenlőtlenségekből e két esetben is, hogy a kocka szolgáltatja a maximális térfogatú téglatestet.

d) Az utolsó egyenlőtlenségből (az utolsó előtti kifejezésnél megállva) az is következik, hogy állandó él összhossz mellett, a kocka átlója a legrövidebb.
A fordított kérdések úgy tehetők fel: egyenlő térfogat mellett melyik téglatestnek lesz a legkisebb: a) a felszíne, b) élei hosszának az összege, c) átlója, d) az egyenlő átlójú téglatestek közül melyik élei hosszának az összege a legnagyobb? A fönti egyenlőtlenségeket ellenkező irányban olvasva adódik, hogy ezeket a szélső értékeket is mindig a kocka szolgáltatja.

^{$^{*}$}A Lap III. kötetében megjelent hasonló című cikksorozatának IV. közleményében kitűzött feladatok megoldásának befejező része. Az e feladatokra nyert pontokat a megfelelő év pontversenyében vettük számba.