Feladat:	365. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kántor S. ,  Pataki K. ,  Schmidt E. ,  Veszprémi áll. ált. g. mat. szakköre ,  Villányi O.
Füzet:	1952/április, 80 - 81. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/november: 365. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 0=\text{tg}{180}^{\circ }=\text{tg}\left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\frac{\frac{\text{tg}\alpha +\text{tg}\beta }{1-\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta }+\text{tg}\gamma }{1-\frac{\text{tg}\alpha +\text{tg}\beta }{1-\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta }\text{tg}\gamma }=\frac{\text{tg}\alpha +\text{tg}\beta +\text{tg}\gamma -\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta \cdot \text{tg}\gamma }{1-\left(\text{tg}\alpha \text{tg}\beta +\text{tg}\alpha \text{tg}\gamma +\text{tg}\beta \cdot \text{tg}\gamma \right)}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Hegyesszögekről lévén szó, a tangensek mind végesek, a tört értéke tehát csak úgy lehet $0$, ha számlálója $0$. Vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\alpha +\text{tg}\beta +\text{tg}\gamma =\text{tg}\alpha \text{tg}\beta \text{tg}\gamma }\end{array}$ (1) Ugyancsak a hegyesszögek miatt mindhárom tangens pozitív, felírható tehát rájuk a számtani és mértani közép ismert összefüggése $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[3]{\text{tg}\alpha \text{tg}\beta \text{tg}\gamma }\le \frac{\text{tg}\alpha +\text{tg}\beta +\text{tg}\gamma }{3}}\end{array}$ átszorozva és köbre emelve $\begin{array}{c}{\displaystyle 27\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta \cdot \text{tg}\gamma \le {\left(\text{tg}\alpha +\text{tg}\beta +\text{tg}\gamma \right)}^3}\end{array}$ (2) (1)-et is (2)-t felhasználva kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 27\text{tg}\alpha \text{tg}\beta \text{tg}\gamma \le {\left(\text{tg}\alpha \text{tg}\beta \text{tg}\gamma \right)}^3\mathrm{,}}\end{array}$ egyszerűsítve és négyzetgyököt vonva $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{27}\le \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta \text{tg}\gamma \mathrm{.}}\end{array}$ (3) (3)-ból látható, hogy $\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta \cdot \text{tg}\gamma$ a $\sqrt[]{27}$-nél kisebb értéket nem vehet fel. $\sqrt[]{27}$-et csak akkor veheti fel, ha a felhasznált számtani és mértani közép közti egyenlőtlenségben az egyenlőség jele érvényes. Ez pedig csak úgy lehet, ha $\text{tg}\alpha =\text{tg}\beta =\text{tg}\gamma$. Ez azt jelenti, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \alpha =\beta =\gamma ={60}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $\text{tg}{60}^{\circ }=\sqrt[]{3}$, az egyenlőoldalú háromszög esetében $\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta \cdot \text{tg}\gamma ={\left(\sqrt[]{3}\right)}^3=\sqrt[]{27}$, tehát a tangensszorzat valóban felveszi a (3)-ból adódó minimumot.