Kezdőlap


Feladat:	364. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dancs J. , Kántor S. , Kocsis J. , Nagy B. , Pap A. , Papp I. , Pataki K. , Rejtő P. , Szabó D. , Szabó Magdolna , Tilesch F. , Veszprémi áll. ált. g. mat. szakköre , Vida Piroska
Füzet:	1952/április, 79 - 80. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/november: 364. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bebizonyítandó tételünk így is írható

\begin{matrix} tg 20^{\circ} \cdot tg 40^{\circ} \cdot tg 80^{\circ} = \frac{3}{tg 60^{\circ}} = \frac{3}{\sqrt[]{3}} = \sqrt[]{3} = tg 60^{\circ}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} tg 20^{\circ} \cdot tg (60^{\circ} - 20^{\circ}) \cdot tg (60^{\circ} + 20^{\circ}) = tg (3 \cdot 20^{\circ}) . \end{matrix}

Külön-külön átalakítjuk a bal- és jobboldalt ugyanarra az alakra

\begin{matrix} tg 20^{\circ} \cdot \frac{tg 60^{\circ} - tg 20^{\circ}}{1 + tg 60^{\circ} tg 20^{\circ}} \cdot \frac{tg 60^{\circ} + tg 20^{\circ}}{1 - tg 60^{\circ} \cdot tg 20^{\circ}} = \\ = tg 20^{\circ} \cdot \frac{{tg}^{2} 60^{\circ} - {tg}^{2} 20^{\circ}}{1 - {tg}^{2} 60^{\circ} \cdot {tg}^{2} 20^{\circ}} = \frac{3 tg 20^{\circ} - {tg}^{3} 20^{\circ}}{1 - 3 {tg}^{2} 20^{\circ}}, \end{matrix}

mivel

{tg}^{2} 60^{\circ} = 3

. Másrészt általában

\begin{matrix} tg 3 α = \frac{tg α + tg 2 α}{1 - tg α tg 2 α} = \frac{tg α + \frac{2 tg}{1 - {tg}^{2} α}}{1 - tg α \cdot \frac{2 tg α}{1 - {tg}^{2} α}} = \frac{(1 - {tg}^{2} α) tg α + 2 tg α}{1 - {tg}^{2} α - 2 {tg}^{2} α} = \frac{3 tg α - {tg}^{3} α}{1 - 3 {tg}^{2} α} \end{matrix}

Tehát a bizonyítandó egyenlőség jobboldala

\begin{matrix} tg 3 \cdot 20^{\circ} = \frac{3 tg 20^{\circ} - {tg}^{3} 20^{\circ}}{1 - 3 {tg}^{2} 20^{\circ}} \end{matrix}

megegyezik a baloldallal.