Feladat: 361. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dancs J. ,  Durst E. ,  Főző Éva ,  Gyurányi B. ,  Horváth J. ,  Hraskó P. ,  Kántor S. ,  Kovács L. ,  Papp I. ,  Pergel J. ,  Rejtő P. ,  Ridler E. ,  Schmidt E. ,  Szabó J. ,  Veszprémi áll. ált. g. mat. szakköre ,  Vida Piroska ,  Villányi O. ,  Zatykó L. ,  Zobor E. 
Füzet: 1952/április, 77 - 78. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Négyzetszámok összege, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1951/november: 361. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ismeretes, hogy

12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)6

Mivel n, n+1 és 2n+1 relatív prím számok, kifejezésünk nyilván akkor és csakis akkor osztható n-nel, ha (n+1)(2n+1)6 egész szám, vagyis (n+1)(2n+1) osztható 2-vel és 3-mal. (2n+1) páratlan lévén (n+1)-nek párosnak kell lennie, vagyis n páratlan. Ha n osztható 3-mal, akkor egyik tényező sem osztható 3-mal. Tehát n csak 3k±1 alakú lehet. n=3k+1 esetén 2n+1=6k+2+1=6k+3 osztható 3-mal, n=3k-1 esetén pedig n+1=3k osztható 3-mal.
Tehát az oszthatóság fennáll minden 2-vel és 3-mal nem osztható n-re.
 

II. megoldás: Mivel az előző megoldás azonosságában a baloldal egész szám, ezért a jobboldalon álló n(n+1)(2n+1)6 is egész minden n egész számra. Ha tehát n és 6 relatív prím számok, akkor szükségképpen (n+1)(2n+1)6 egész, s így a négyzetösszeg osztható n-nel. Ha viszont n-nek és 6-nak van közös osztója, ez nem lehet osztója sem n+1-nek, sem 2n+1-nek, mert ezek relatív prímek n-hez. Így ez esetben (n+1)(2n+1)6 nem lehet egész.
Tehát az oszthatóság az n=6k±1 alakú számokra áll fenn.