Kezdőlap


Feladat:	359. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Biczó G. , Bujdosó A. , Farkasfalvy M. , Frivaldszky J. , Huszár k. , Kertész Á. , Kovács L. , Reichlin V. , Sohár P. , Tahy P. , Tomor B.
Füzet:	1952/február, 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/november: 359. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a $k$ -val osztható szám $n k$ , szomszédai $n k - 1$ és $n k + 1$ . Ha $(n k + 1)$ -et az $m$ -edik hatványra emeljük, tulajdonképpen $(n k + 1)$ -et $m$ -szer vesszük tényezőül. Ha végiggondoljuk, hogy miből tevődik össze két többtagúnak egy harmadik többtagúval való szorzata, majd egy 4-ik, 5-ik és végül egy $m$ -edikkel való szorzata; beláthatjuk, hogy $m$ darab többtagú kifejezés szorzatát úgy kapjuk, hogy az $m$ -számú többtagú mindegyikéből kiválasztunk egy-egy tagot minden lehetséges módon, ezeket összeszorozzuk és az összes szorzatok algebrai összegét képezzük. Ha egy szorzatnak minden egyes tényezője $(n k + 1)$ , akkor a tagok között csak egyetlenegy $k$ -val nem osztható tag lesz, tudniillik az, amelyet csupa 1-es összeszorzásából nyertünk. Tehát

\begin{matrix} {(n k + 1)}^{m} = a k + 1 \end{matrix}

alakú, ahol

a

valamilyen egész szám. Ennek bal szomszédja (megelőzője)

a k

valóban osztható

k

-val.
Ha pedig

{(n k - 1)}^{m}

kifejezést fejtjük ki, akkor az előbbihez hasonló megfontolás alapján

{(n k - 1)}^{m} = a k + 1

, ha

m

páros,

{(n k - 1)}^{m} = a k - 1

, ha

m

páratlan. Ebből nyilvánvaló, hogy

{(n k - 1)}^{m}

-nek is mindig van

a k

alakú szomszédja.