Kezdőlap


Feladat:	351. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Beke Éva , Beke Mária , Bujdosó A. , Farkasfalvi M. , Fuchs T. , Huszár k. , Kertész Á. , Kovács L. , Nagy L. , Németh L. , Reichlin V. , Schmidt E. , Tahy P. , Veszprémi áll. ált. g. mat. szakköre
Füzet:	1952/február, 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/november: 351. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ki kell mutatnunk, hogy $p^{2} - 1$ mindig osztható 12-vel, ha $p$ 3-nál nagyobb prímszám. $p^{2} - 1 = (p - 1) (p + 1)$ és mivel $p$ sem 2-vel, sem 3-mal nem lehet osztható, ezért mindkét tényező páros és egyikük osztható 3-mal. Szorzatuk tehát osztható $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ -vel.

II. megoldás: Minden 3-nál nagyobb

p

prímszám, mivel 2- és 3-mal nem lehet osztható, csak

6 k + 1

vagy

6 k - 1

alakú lehet. Tehát

p^{2} = {(6 k \pm 1)}^{2} = 36 k^{2} \pm 12 k + 1 = 12 (3 k^{2} \pm k) + 1 = 12 K + 1