Kezdőlap


Feladat:	346. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kántor S.
Füzet:	1952/február, 16 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Jensen-féle egyenlőtlenség, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/november: 346. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk a szóbanforgó függvényekre a kéttagú szimmetrikus Jensen-féle egyenlőtlenség két oldalán álló kifejezések különbségét:

\begin{matrix} \frac{sin α + sin β}{2} - sin \frac{α + β}{2} = sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2} - sin \frac{α + β}{2} = \\ = sin \frac{α + β}{2} (cos \frac{α - β}{2} - 1) . \end{matrix}

A zárójel negatív, ha a

α - β \neq 4 k π (k = 0, \pm 1, \pm 2 ...)

.
Ha

\begin{matrix} (2 k + 1) π \leq α \leq (2 k + 2) π, \\ (2 k + 1) π \leq β \leq (2 k + 2) π, \end{matrix}

akkor az első tényező negatív, tehát a szorzat pozitív, ami azt jelenti, hogy teljesül a konvex függvényekre vonatkozó kéttagú szimmetrikus Jensen-féle egyenlőtlenség, tehát a

sin x

függvény a

(2 k + 1) π \leq x \leq (2 k + 2) π

intervallumokban konvex.
Ha viszont

α

és

β

2 k π

és

(2 k + 1) π

közt van, akkor a szorzat negatív, mert az első tényező pozitív, s így ezekben az intervallumokban a

sin x

függvény konkáv.
Hasonlóan

\begin{matrix} \frac{cos α + cos β}{2} - cos \frac{α + β}{2} = cos \frac{α + β}{2} (cos \frac{α - β}{2} - 1) . \end{matrix}

Ebből hasonlóan következik, hogy a

cos x

függvény a

(4 k + 1) \frac{π}{2} \leq x \leq (4 k + 3) \frac{π}{2}

intervallumokban konvex, a

(4 k - 1) \frac{π}{2} \leq x \leq (4 k + 1) \frac{π}{2}

intervallumokban pedig konkáv.