Kezdőlap


Feladat:	345. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Durst E. , Kántor S. , Villányi O. , Zatykó L. , Zobor E.
Füzet:	1952/február, 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/november: 345. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a háromszög befogóit $a$ , $b$ -vel, átfogóját $c$ -vel, területét $t$ -vel. Feltétel szerint $a b = 2 t$ állandó.

\begin{matrix} c^{2} = a^{2} + b^{2} \geq 2 a b = 4 t, mert a^{2} - 2 a b + b^{2} = ({a - b)}^{2} \geq 0, \end{matrix}

és az egyenlőségjel akkor és csakis akkor érvényes, ha

a = b

. Tehát

c^{2} = a^{2} + b^{2}

akkor a legkisebb, ha az előbbi összefüggésnél az egyenlőség áll fenn, vagyis

a = b

.
Így az egyenlő területű derékszögű háromszögek közül az egyenlő szárúnak az átfogója a legkisebb.

Megfordítás: Az egyenlő átfogójú derékszögű háromszögek közül az egyenlő szárúnak a területe a legnagyobb.

Bizonyítás:

t = \frac{a b}{2} \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{4} = \frac{c^{2}}{4}

mint az előbb, és az egyenlőség

a = b

esetén áll fenn.
Itt a jobboldal állandó, tehát a terület egyenlőség esetén a legnagyobb, de ez csak úgy lehetséges, hogy

a = b