Kezdőlap


Feladat:	344. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kántor Sándor
Füzet:	1952/február, 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani közép, Mértani közép, Súlyozott közép, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/november: 344. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kis átalakítással meggyőződhetünk arról, hogy a bizonyítandó tételek a súlyozott számtani és mértani középre vonatkozó, a 342. feladatban bizonyított, egyenlőtlenség speciális esetei:

\begin{matrix} a^{2} b = 4 {(\frac{a}{2})}^{2} b és 4 {(\frac{a + b}{3})}^{3} = 4 {(\frac{2}{3} \cdot \frac{a}{2} + \frac{1}{3} b)}^{3} \end{matrix}

Az első egyenlőtlenség tehát azt fejezi ki, hogy a

\frac{2}{3}

súllyal súlyozott

\frac{a}{2}

és az

\frac{1}{3}

súllyal súlyozott

b

pozitív számok számtani közepe köbének négyszerese nem lehet kisebb, mint mértani közepük köbének 4-szerese, ami következik abból, hogy ez az egyenlőtlenség magukra a közepekre fennáll.
Másrészt

a b = {(a^{r})}^{\frac{1}{r}} {(b^{s})}^{\frac{1}{s}}

,
tehát a második egyenlőtlenség azt fejezi ki, hogy az

\frac{1}{r}

súllyal súlyozott

a^{r}

és az

\frac{1}{s}

súlyozott

b^{s}

pozitív számok számtani közepe nem kisebb, mint a mértani közepük.