Kezdőlap


Feladat:	338. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kántor S. , Zatykó L.
Füzet:	1952/február, 11 - 13. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/november: 338. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szorozzuk és osszuk az összegükkel az egyenlőtlenség két oldalán álló kifejezés különbségét

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ... + x_{k}^{2}}{k}} - \frac{x_{1} + x_{2} + ... + x_{k}}{k} = \\ = \frac{k (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ... + x_{k}^{2}) - {(x_{1} + x_{2} + ... + x_{k})}^{2}}{k^{2} (\sqrt[]{\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ... + x_{k}^{2}}{k}} + \frac{x_{1} + x_{2} + ... + x_{k}}{k})} \end{matrix}

Legyen

x_{1}, x_{2}, ..., x_{k}

mind pozitív vagy nulla, akkor elég a számláló előjelét vizsgálnunk.

\begin{matrix} k (x_{1}^{2} + ... + x_{k}^{2}); - {(x_{1} + ... + x_{k})}^{2} = k x_{1}^{2} + ... + k x_{k}^{2} - \\ - x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{3} - ... - x_{k}^{2} = (k - 1) x_{1}^{2} + ... + \\ + (k - 1) x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 2 x_{1} x_{3} - ... - 2 x_{k - 1} x_{k} = {(x_{1} - x_{2})}^{2} + \\ + {(x_{1} - x_{3})}^{2} + ... + {(x_{1} - x_{k})}^{2} + {(x_{2} - x_{3})}^{2} + ... + \\ + {(x_{k - 1} - x_{k})}^{2} > 0, \end{matrix}

ha az

x

-szek között van különböző.
Ha az

x

-szek között van negatív, akkor a negatív

x

-szek helyett (

- 1

)-szeresüket beírva a kifejezés csökken, de még így is pozitív, annál inkább az eredeti kifejezés.
A számtani és harmonikus közepek különbsége:

\begin{matrix} \frac{x_{1} + ... + x_{k}}{k} - \frac{k}{\frac{1}{x_{1}} + ... + \frac{1}{x_{k}}} = \\ = \frac{(x_{1} + ... + x_{k}) \cdot (\frac{1}{x_{1}} + ... + \frac{1}{x_{k}}) - k^{2}}{k \cdot (\frac{1}{x_{1}} + ... + \frac{1}{x_{k}}) .} \end{matrix}

Itt a nevező pozitv, tehát elég a számláló előjelét vizsgálni.

\begin{matrix} (x_{1} + ... + x_{k}) (\frac{1}{x_{1}} + ... + \frac{1}{x_{k}}) - k^{2} = \frac{x_{1}}{x_{1}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} + ... + \\ + \frac{x_{k}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{2}} + ... + \frac{x_{k}}{x_{2}} + ... + \frac{x_{k}}{x_{1}} + \frac{x_{k}}{x_{2}} + ... + \\ + \frac{x_{k}}{x_{k}} - k^{2} = \frac{x_{2}}{x_{1}} + ... + \frac{x_{k}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{3}}{x_{2}} ... + \frac{x_{k}}{x_{2}} + ... + \\ + \frac{x_{1}}{x_{k}} + ... + \frac{x_{k - 1}}{x_{k}} + k - k^{2} . & (2) \end{matrix}

A megmaradt

k^{2} - k

számú tört párosítható, minden tört a reciprok értékével. De tudjuk, hogy pozitív számnak és reciprokának összege nem lehet kisebb mint 2. Tehát a

\frac{k^{2} - k}{2}

tagpár összege nem lehet kisebb, mint

2 \frac{k^{2} - k}{2} = k^{2} - k

, így az (1) kifejezés nem lehet negatív. Nulla is csak úgy lehetne, ha minden

x

megegyezne, de ezt az esetet kizártuk, tehát (2) pozitív és így az (1) tört is, amivel az állítást bebizonyítottuk.