Feladat: 335. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kántor S. ,  Krotkó G. ,  Skandera L. ,  Villányi O. 
Füzet: 1951/december, 236 - 240. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Alakzatba írt kör, Kör egyenlete, Koszinusztétel alkalmazása, Pitagoraszi számhármasok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1951/augusztus: 335. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Egy kivételével valamennyi megoldó előzetes számítás és okoskodás nélkül rátalált a helyes megoldásra: a keresett kör sugara 6 egységnyi. Ezt az eredményt azután igazolták, a következő módon: a megadott három kör középpontjai olyan derékszögű háromszöget alkotnak, melynek befogói 3 és 4, átfogója 6 egységnyi.

 
 

Ezt a derékszögű háromszöget átfogójának középpontjára tükrözve olyan téglalappá egészítjük ki, melynek új, negyedik csúcsa a keresett kör középpontja. Ha t. i. ezt a pontot összekötjük mind a három kör középpontjával és ezeket az összekötő egyeneseket rendre meghosszabbítjuk a megfelelő körökkel való metszéspontokig, akkor az így kapott mind a három távolság 6 egységnyire van ettől a ponttól.
 

II. megoldás: Ha valaki rálátással nem jön rá a megoldásra, számolással is megtalálja a helyes eredményt. Legyen a keresett kör sugara: r, középpontja: O, ha ezt összekötjük mind a három kör középpontjával, akkor OO1=r-1, OO2=r-2, OO3=r-3. Ha az O1OO3-ben az O1 csúcsnál levő szöget α-val jelöljük, akkor az OO1O2=90-α.
A cosinus tétel felhasználásával:
(r-3)2=(r-1)2+42-8(r-1)cosα,(r-2)2=(r-1)2+32-6(r-1)sinα,
mert cos(90-α)=sinα.
Az egyenletek rendezés után
r(2cosα-1)=2cosα+2,r(sinα-1)=sinα+3.
Az első egyenletből:
r=2cosα+22cosα-1,
és azt a második egyenletbe helyettesítve:
2cosα+22cosα-1(3sinα-1)-(3sinα+3)=0.
Rendezve: 9sinα=8cosα-1.
Fejezzük ki sinα-t cosα-val: sinα=1-cos2α. Emeljük négyzetre az egyenletet:
81(1-cos2α)=64cos2α-16cosα+1,
ahonnan újabb rendezés után
145cos2α-16cosα-80=0,
innen cos=45, míg a másik gyök, cosα=-2029 a négyzetreemelés előtti egyenletnek nem gyöke. Tehát
r=85+285-1=183=6.

III. Megoldás. Helyezzük el a koordináta-rendszert úgy, hogy O1 a középpontja, O2 az x tengelyen van, O3 az Y tengelyen. A feladatot megoldó O középpont O1-től (r-1), O2-től (r-2) és O3-tól (r-3) távolságra van, keressük tehát azt az r értéket, amelyre nézve az O1-ből (r-1), O2-ből (r-2) és O3-ból (r-3) sugárral rajzolt körök egy pontban metszik egymást.
A három kör egyenlete:
x2+y2=(r-1)2,(x-3)2+y2=(r-2)2,x2+(y-4)2=(r-3)2.(I)



Az első és második egyenlet különbségéből x=r+33 adódik ez az y tengellyel párhuzamos egyenes. Az első és harmadik egyenletből hasonlóan y=r+22, ez az x tengellyel párhuzamos egyenes.
Ha e két egyenes metszéspontja rajta van az (I) körökön, akkor rajta van pl. az első körön is, tehát:
(r+33)2+(r+22)2=(r-1)2
Ennek az egyenletnek a keresett megoldása: r=6; míg a másik gyök r=-213. Ha figyelembe vesszük, hogy r*-gal jelölve annak a körnek a sugarát, amelyet a 3 kör kívülről érint, előbbi gondolatmenetünkhöz hasonlóan az
x2+y2=(1+r*)2(x-3)2+y2=(2+r*)2,x2+(y-r)2=(3+r*)2(II)
köröknek kell egyetlen ponton áthaladni; másrészt a (II) egyenletek az (I)-ből az r=-r* helyettesítéssel jönnek létre, akkor -r=r*=213, annak a körnek a sugara, melyet a feladatban adott három kör kívülről érint.
 

IV. Megoldás. A Középiskolai Matematikai Lapok II. évfolyamának 2. számában a Kárteszi Ferenc ,,A körsorokról'' írt tanulmányában foglalkozik a körre való tükrözéssel, amelynek segítségével a mi feladatunkhoz hasonló feladatokat old meg.
Legyen megint O1 a koordináta-rendszer középpontja 1, a három kör rendre K1, K2, K3.
 
 

Válasszuk vezérkörnek azt a kört, melynek középpontja a K1 és K2 kör érintési pontja O4 és sugara 2 egységnyi. Ekkor a K1 kör képe az A pontban a K1 körhöz húzott érintő, a K2 kör képe a vezérkör és K2 hatványvonala K'2, amely merőleges az x tengelyre és egyenlete x=2, a K3 kör képét megszerkeszthetjük a következő meggondolással: K3 érinti K1-t a D pontban, tehát a képének K'3-nek a K'1-et a D'-ben kell érintenie. De ezzel már a helyzete teljesen meg van határozva, mert K'2-t is érintenie kell; K'3 sugara 11/2 egységnyi, mert K'1 és K'2 távolsága 3. Annak a körnek, amelyet a K1, K2 és K3 körök belülről érintenek, olyan kör lesz a képe, amely érinti a K'1, K'2 egyeneseket és a K'3 kört. Ilyen kör kettő van. K' és K'¯. Ezek közül ‐ egyszerű szemlélet is mutatja, hogy K'¯, annak a körnek képe, amelyet a három kör kívülről érint és a keresett K kör képe: K'. Az érintési pontok képei: T'1, T'2 és T'3. T'3 koordinátái (12,12) T'2-éi: (2,-1).
A T'3O4T'2 egyenes a K2 kört T2 (3,-2)-ben, a K3 kört T3(4,-3)-ban metszi. Ezek a keresett K kör érintési pontjai a K2, illetve K3 körön. Középpontját megkapjuk, ha T3O3 és T2O2 metszéspontját keressük: O-t. O koordinátái: (3,4) és ebből már következik, hogy r=6.

1Az ábrán az y tengely tévesen van jelölve.