A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Egy kivételével valamennyi megoldó előzetes számítás és okoskodás nélkül rátalált a helyes megoldásra: a keresett kör sugara 6 egységnyi. Ezt az eredményt azután igazolták, a következő módon: a megadott három kör középpontjai olyan derékszögű háromszöget alkotnak, melynek befogói 3 és 4, átfogója 6 egységnyi.
Ezt a derékszögű háromszöget átfogójának középpontjára tükrözve olyan téglalappá egészítjük ki, melynek új, negyedik csúcsa a keresett kör középpontja. Ha t. i. ezt a pontot összekötjük mind a három kör középpontjával és ezeket az összekötő egyeneseket rendre meghosszabbítjuk a megfelelő körökkel való metszéspontokig, akkor az így kapott mind a három távolság 6 egységnyire van ettől a ponttól. II. megoldás: Ha valaki rálátással nem jön rá a megoldásra, számolással is megtalálja a helyes eredményt. Legyen a keresett kör sugara: , középpontja: , ha ezt összekötjük mind a három kör középpontjával, akkor , , . Ha az -ben az csúcsnál levő szöget -val jelöljük, akkor az . A cosinus tétel felhasználásával:
mert . Az egyenletek rendezés után
Az első egyenletből: és azt a második egyenletbe helyettesítve: | | Rendezve: . Fejezzük ki -t -val: . Emeljük négyzetre az egyenletet: | | ahonnan újabb rendezés után innen , míg a másik gyök, a négyzetreemelés előtti egyenletnek nem gyöke. Tehát III. Megoldás. Helyezzük el a koordináta-rendszert úgy, hogy a középpontja, az tengelyen van, az tengelyen. A feladatot megoldó középpont -től , -től és -tól távolságra van, keressük tehát azt az értéket, amelyre nézve az -ből , -ből és -ból sugárral rajzolt körök egy pontban metszik egymást. A három kör egyenlete:
Az első és második egyenlet különbségéből adódik ez az tengellyel párhuzamos egyenes. Az első és harmadik egyenletből hasonlóan , ez az tengellyel párhuzamos egyenes. Ha e két egyenes metszéspontja rajta van az (I) körökön, akkor rajta van pl. az első körön is, tehát: Ennek az egyenletnek a keresett megoldása: ; míg a másik gyök . Ha figyelembe vesszük, hogy -gal jelölve annak a körnek a sugarát, amelyet a 3 kör kívülről érint, előbbi gondolatmenetünkhöz hasonlóan az | | (II) | köröknek kell egyetlen ponton áthaladni; másrészt a (II) egyenletek az (I)-ből az helyettesítéssel jönnek létre, akkor , annak a körnek a sugara, melyet a feladatban adott három kör kívülről érint. IV. Megoldás. A Középiskolai Matematikai Lapok II. évfolyamának 2. számában a Kárteszi Ferenc ,,A körsorokról'' írt tanulmányában foglalkozik a körre való tükrözéssel, amelynek segítségével a mi feladatunkhoz hasonló feladatokat old meg. Legyen megint a koordináta-rendszer középpontja , a három kör rendre , , .
Válasszuk vezérkörnek azt a kört, melynek középpontja a és kör érintési pontja és sugara egységnyi. Ekkor a kör képe az pontban a körhöz húzott érintő, a kör képe a vezérkör és hatványvonala , amely merőleges az tengelyre és egyenlete , a kör képét megszerkeszthetjük a következő meggondolással: érinti -t a pontban, tehát a képének -nek a -et a -ben kell érintenie. De ezzel már a helyzete teljesen meg van határozva, mert -t is érintenie kell; sugara egységnyi, mert és távolsága 3. Annak a körnek, amelyet a , és körök belülről érintenek, olyan kör lesz a képe, amely érinti a , egyeneseket és a kört. Ilyen kör kettő van. és . Ezek közül ‐ egyszerű szemlélet is mutatja, hogy , annak a körnek képe, amelyet a három kör kívülről érint és a keresett kör képe: . Az érintési pontok képei: , és . koordinátái -éi: . A egyenes a kört -ben, a kört -ban metszi. Ezek a keresett kör érintési pontjai a , illetve körön. Középpontját megkapjuk, ha és metszéspontját keressük: -t. koordinátái: és ebből már következik, hogy .
Az ábrán az tengely tévesen van jelölve. |