Kezdőlap


Feladat:	333. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csillag L. , Dancs I. , Forrai S. , ifj. Csonka P. , Kovács L. , Révész P. , Villányi Ottó , Zobor E.
Füzet:	1951/december, 235. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Trigonometriai azonosságok, ( x + 1/x ) > = 2 ( x > 0 ), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/augusztus: 333. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ha $α$ akármilyen pozitív szám, akkor $α + \frac{1}{α} ≧ 2$ . Ugyanis az ${(α - 1)}^{2} ≧ 0$ egyenlőtlenségből következik, hogy $α^{2} + 1 ≧ 2 α$ , ezt pedig szabad $α$ -val osztani, mivel a feltétel szerint $α > 0$ . Az osztást végrehajtva kapjuk, hogy $α + \frac{1}{α} ≧ 2$ . Írjuk az igazolandó egyenlőtlenséget ilyen alakban:

\begin{matrix} [sin 2 α + \frac{1}{sin 2 α}] + \frac{1}{sin 2 α} ≧ 3. \end{matrix}

A zárójelben levő rész a fentiek szerint

≧ 2

. A második rész pedig, mivel

sin 2 α \leq 1

\begin{matrix} \frac{1}{sin 2 α} ≧ 1 \end{matrix}

A két rész összege tehát nem lehet kisebb 3-nál.

Villányi Ottó (Szentendre, IV. o.)

II. megoldás: Redukáljuk az egyenlőtlenséget nullára. Elegendő a keletkező egyenlőtlenséget igazolni. A baloldal

\begin{matrix} sin 2 α + \frac{2}{sin 2 α} - 3 = \frac{2 - 3 sin 2 α + sin^{2} 2 α}{sin 2 α} = \\ = \frac{(1 - sin 2 α) (2 - sin 2 α)}{sin 2 α} . \end{matrix}

Ez pedig csak pozitív lehet, mivel pozitív a számlálóban levő szorzat mindkét tényezője, és a nevező is. Ennek folytán a kiindulásra szolgált egyenlőtlenség is helyes.