Kezdőlap


Feladat:	327. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	ifj. Csonka P. , Kántor S. , Révész P. , Zatykó L.. , Zobor Ervin
Füzet:	1951/december, 232. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/augusztus: 327. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az $A B C$ hegyesszögű háromszög magasságvonalai $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ ezeknek a $B C$ , $C A$ , $A B$ oldalak fölé rajzolt félkörökkel alkotott metszéspontjai $P$ , $Q$ és $R$ . A tételt elegendő az egyik csúcsra bizonyítani.

A Q C ▵

és

A R B ▵

Thales tétele értelmében derékszögű. Derékszögű háromszögben a befogó mértani középarányos az átfogó és a befogó átfogón lévő vetülete között, tehát:

\begin{matrix} A Q^{2} = A C \cdot A B_{1} és A R^{2} = A B \cdot A C_{1} . \end{matrix}

Viszont

A C \cdot A B_{1} = A B \cdot A C_{1}

, mert mindkét kifejezés az

A

pont hatványa az

A B C ▵

C B

oldala, mint átmérő fölé rajzolt körre vonatkozólag. (

B_{1}

és

C_{1}

pontok rajta vannak e kör kerületén Thales tétele értelmében.)
Ennek alapján:

A Q^{2} = A R^{2}

és ebből

A Q = A R

, amit bizonyítani kellett.
A tétel ugyanúgy bizonyítható minden egyes csúcsra.

Zobor Ervin (Nagykanizsa, III. o.)