Kezdőlap


Feladat:	326. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csillag L. , Dancs I. , ifj. Csonka P. , Kántor S. , Kovács L. , Pataki K. , Révész P. , Skandera L. , Vida Piroska , Villányi O. , Zobor E.
Füzet:	1951/december, 231 - 232. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Magasságvonal, Magasságpont, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/augusztus: 326. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a háromszög magasságvonalai $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ , magasságpontja $M$ .

A C_{1} M ▵ \sim M A_{1} C ▵

, mert két-két szögük egyenlő:

A C_{1} M ∢ = M A_{1} C ∢ = 90^{\circ}

;

C_{1} M A ∢ = C M A_{1} ∢

(csúcsszögek).
Hasonló háromszögekben az egyenlő szögekkel szemben fekvő oldalak aránya egyenlő:

\begin{matrix} A M : M C_{1} = C M : M A_{1}, ahonnan: A M \cdot M A_{1} = C M \cdot M C_{1} . \end{matrix}

(1)

Az előbbihez hasonlóan:

A M B_{1} ▵ \sim A_{1} M B ▵

, ahonnan:

\begin{matrix} A M : M B_{1} = B M : M A_{1}, A M \cdot M A_{1} = B M \cdot M B_{1}, \end{matrix}

(2)

(1) és (2) összevetéséből adódik a tétel:

\begin{matrix} A M \cdot M A_{1} = B M \cdot M B_{1} = C M \cdot M C_{1} . \end{matrix}

A bizonyítás érvényes bármely hegyes- és tompaszögű háromszögre. Derékszögű háromszögnél

M

pont, a derékszög csúcsa, két olyan részre osztja a magasságvonalakat, amelyek közül az egyik hossza

0

. Ez esetben a kívánt szorzat

0

mindhárom magasságvonalra nézve.

II. megoldás: A háromszög oldalai, mint átmérők fölé félköröket rajzolunk.

A A_{1} B ∢ = A B_{1} B ∢ = 90^{\circ}

, tehát Thales tétele értelmében az

A_{1}

és

B_{1}

pontok rajta vannak az

\bar{A B}

oldal fölé rajzolt félkör kerületén. Az

A B

átmérőjű körben az

M

ponton átmenő húrok metszeteinek szorzata állandó és megegyezik az

M

pont körre vonatkozó hatványával. Tehát:

\begin{matrix} A M \cdot M A_{1} = B M \cdot M B_{1} . \end{matrix}

(3)

Az előbbihez hasonlóan:

B_{1}

és

C_{1}

pontok rajta vannak a

B C

oldal fölé rajzolt félkör kerületén;

M

pontnak a

B C

átmérőjű körre vonatkozó hatványa:

\begin{matrix} B M \cdot M B_{1} = C M \cdot M C_{1} . \end{matrix}

(4)

(3) és (4) összevetéséből adódik a tétel:

\begin{matrix} A M \cdot M A_{1} = B M \cdot M B_{1} = C M \cdot M C_{1} \end{matrix}

Hegyesszögű háromszögben

M

pont a körökre vonatkozólag belső pont, tompaszögű háromszögben külső pont, derékszögűben kerületi pont. A kör hatványára vonatkozó tétel érvényes mindhárom fajta pontra, tehát a tétel fennáll bármely háromszögre.