Kezdőlap


Feladat:	325. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Főző Éva , Kántor Sándor , Kovács L. , Rédly E. , Zatykó L.
Füzet:	1951/december, 230 - 231. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Kombinatorikai leszámolási problémák, Permutációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/augusztus: 325. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Minden egyes betű helyére odaírhatjuk, hányféleképpen juthatunk el hozzá a megjelölt módon. Az első hat sor szélső betűihez nyilván egyféleképpen. A többi helyen a megfelelő számot úgy kapjuk, hogy a két fölötte lévőt összeadjuk, mert bármely betűhöz annyi út vezet, ahány a két fölötte lévőhöz összesen. Így elvégezve a számítást az $S$ betű helyére $252$ kerül.
A számok így előállított elrendezése a jól ismert Pascal-háromszög egy része. Tudva, hogy a Pascal-háromszög $n$ -edik sorának $k$ -adik helyén az $(\binom{n}{k}) = \frac{n (n - 1) ... (n - k + 1)}{k!}$ szám áll, eredményünk így is kiszámítható:

\begin{matrix} (\binom{10}{5}) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 252 \end{matrix}

(A sorok és helyek számozását nullával kezdjük.)

II. megoldás: Ha az egy betűvel rézsut jobbra haladást

a

-val, a rézsut balra haladást

b

-vel jelöljük, akkor minden leolvasási módot 5 darab

a

és 5 darab

b

valamilyen egymásutánjával jellemezhetjük, mert végül a kiindulópont alá kell érnünk. Ahány különböző módon tudjuk az

a a a a a b b b b b

elemeket sorba állítani, annyiféleképp történhetik a leolvasás. Ez 10 elem permutációinak száma, ahol 5‐5 elem ismétlődik:

\begin{matrix} \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252. \end{matrix}

Kántor Sándor (Debrecen, III. o.)