Kezdőlap


Feladat:	324. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kántor Sándor
Füzet:	1951/december, 229 - 230. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Pitagoraszi számhármasok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/augusztus: 324. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a három négyzetszám $x^{2}$ , $y^{2}$ , $z^{2}$ . A feltétel szerint ezek számtani sorozatot alkotnak, tehát

\begin{matrix} y^{2} - x^{2} = z^{2} - y^{2}, vagyis z^{2} + x^{2} = 2 y^{2} \end{matrix}

Keressük ezen egyenlet összes egész számú megoldásait. Megmutatjuk, hogy az

x

y

z

megoldásokhoz kölcsönösen és egyértelműen hozzárendelhető egy pythagorasi számhármas:

a

b

c

, melyre tehát

a^{2} + b^{2} = c^{2}

. Legyen ugyanis

a = \frac{x + z}{2}

b = \frac{x - z}{2}

c = y

. Akkor valóban

a^{2} + b^{2} = {(\frac{x + z}{2})}^{2} + {(\frac{x - z}{2})}^{2} = \frac{x^{2} + z^{2}}{2} = y^{2} = c^{2}

\frac{x + z}{2}

és

\frac{x - z}{2}

egész számok, mert

x

és

z

egyenlő párosságúak

z^{2} + x^{2} = 2 y^{2}

szerint.
Így megkaptunk minden pythagorasi számhármast, ugyanis bármely

a

b

c

pythagorasi hármast az

\begin{matrix} x = a - b, y = c, z = a + b \end{matrix}

számhármasból kaptuk az előbbi módon. Innen látható az is, hogy az eljárással minden pythagorasi számhármast csak egyszer kaptunk meg, vagyis minden

a

b

c

-hez csak egy

x

y

z

tartozik.
Tehát minden a feltételt kielégítő

x

y

z

számhármashoz tudtunk rendelni egy és csak egy pythagorasi számhármast.

Kántor Sándor (Debrecen, III. o.)