Kezdőlap


Feladat:	322. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Durst Endre , Forrai S. , Kántor S. , Pataki K. , Révész P. , Zobor E.
Füzet:	1951/december, 227 - 228. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konvergens sorok, Számsorok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/augusztus: 322. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hozzuk a tagokat közös nevezőre:

\begin{matrix} \frac{1 \cdot 2^{n - 1} + 2 \cdot 2^{n - 2} + 3 \cdot 2^{n - 3} + ... + (n - 1) 2 + n}{2^{n - 1}} . \end{matrix}

Foglalkozzunk egyelőre csak a számlálóval. Az egyes tagokat felbontjuk így:

2 \cdot 2^{n - 2} = 2^{n - 2} + 2^{n - 2}

3 \cdot 2^{n - 3} = 2^{n - 3} + 2^{n - 3} + 2^{n - 3}

stb. és átrendezzük a kifejezést:

\begin{matrix} (2^{n - 1} + 2^{n - 2} + ... + 1) + (2^{n - 2} + 2^{n - 3} + ... + 1) + \\ (2^{n - 3} + ... 1) + ... + (2 + 1) + 1. \end{matrix}

Az egyes mértani sorokat összegezzük, majd a kapott mértani sort ismét összegezzük:

\begin{matrix} \frac{2^{n} - 1}{2 - 1} + \frac{2^{n - 1} - 1}{2 - 1} + \frac{2^{n - 2} - 1}{2 - 1} + \dots + \frac{2^{2} - 1}{2 - 1} + \frac{2 - 1}{2 - 1} = \\ = \frac{2^{n} + 2^{n - 1} + 2^{n - 2} + ... + 2^{2} + 2 + 1 - (n + 1)}{2 - 1} = \\ = \frac{2^{n + 1} - 1}{2 - 1} - (n + 1) = 2^{n - 1} - (n + 2) \end{matrix}

Ebből az eredeti kifejezést megkapjuk, ha

2^{n - 1}

-gyel osztunk:

\begin{matrix} \frac{2^{n + 1} - (n + 2)}{2^{n - 1}} = 4 - \frac{n + 2}{2^{n - 1}} . \end{matrix}

A második tag nevezőjében

n

kitevőben szerepel, a számlálóban pedig csak tagként.

n

értékével, tehát a nevező sokkal gyorsabban nő, mint a számláló, vagyis a tört értöke csökken. Ha pedig

n

értéke minden határon túl nő, e tag

0

-hoz közeledik. Mivel azonban

2^{2}

n

értékétől független:

\begin{matrix} (\frac{1}{1} + \frac{2}{2} + \frac{3}{4} + \frac{4}{8} + \frac{5}{16} + ... + \frac{n}{2^{n - 1}}) = 4. \end{matrix}

Durst Endre (Szolnok IV. o.)