Kezdőlap


Feladat:	319. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Müller Z. , Révész P. , Villányi O.
Füzet:	1951/december, 224 - 225. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/augusztus: 319. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük észre, hogy $\sqrt[]{2 + \sqrt[]{3}} \cdot \sqrt[]{2 - \sqrt[]{3}} = 1$ , s így a szorzat bármely hatványa is 1. Így az $y = {(\sqrt[]{2 + \sqrt[]{3}})}^{x}$ és $z = {(\sqrt[]{2 - \sqrt[]{3}})}^{x}$ mennyiségek közt az

\begin{matrix} y + z = 4, 25, y z = 1 \end{matrix}

összefüggések állnak fenn. A másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közti összefüggésekből tudjuk, hogy ha két mennyiségnek adott az összege és a szorzata, akkor ezek gyökei egy olyan másodfokú egyenletnek, melyben a másodfokú tag együtthatója 1, az elsőfokúé az összeg negatívja, az állandó tag pedig a mennyiségek szorzata. Esetünkben tehát

y

és

z

gyökei az

\begin{matrix} u^{2} - 4, 25 u + 1 = 0 \end{matrix}

egyenletnek, mégpedig úgy értve, hogy bármelyik gyököt választhatjuk

y

-nak, mindig a másik gyök lesz

z

. A másodfokú egyenlet gyökei

\begin{matrix} u_{1,2} = \frac{4, 25 \pm \sqrt[]{4, 25^{2} - 2^{2}}}{2} = \frac{4, 25 \pm 3, 75}{2}, u_{1} = 4, u_{2} = \frac{1}{4} . \end{matrix}

Innen az eredeti egyenlet két gyöke:

\begin{matrix} {(\sqrt[]{2 + \sqrt[]{3}})}^{x_{1}} = 4, x_{1} = \frac{log 4}{log (\sqrt[]{2 + \sqrt[]{3}})} = 1, 575 ... \end{matrix}

és hasonlóan

\begin{matrix} x_{2} = \frac{log 1 / 4}{log (\sqrt[]{2 + \sqrt[]{3}})} = - \frac{log 4}{log (\sqrt[]{2 + \sqrt[]{3}})} = - x_{1} . \end{matrix}