Kezdőlap


Feladat:	318. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csillag L. , ifj. Csonka P. , Kántor S. , Kovács L. , Szabó Magdolna , Vida Piroska , Villányi O. , Zobor E.
Füzet:	1951/december, 224. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/augusztus: 318. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kijelölt beszorzások elvégzése, összevonás és egy negatív előjel kiemelése után a következő alakot kapjuk:

\begin{matrix} - (a^{4} - 2 a^{2} b^{2} + b^{4} - 2 a^{2} c^{2} - 2 b^{2} c^{2} + c^{4}) . \end{matrix}

Ez az

(a^{2} - b^{2} - c^{2})

kifejezés négyzetétől csak a

2 b^{2} c^{2}

tag előjelében különbözik, az első negatív előjeltől eltekintve. Adjunk hozzá a kifejezéshez

4 b^{2} c^{2}

-et, hogy a kérdéses előjel megváltozzék, de vonjuk is le belőle, ekkor a kifejezésünket két négyzet különbségeként írhatjuk fel:

\begin{matrix} - (a^{4} - 2 a^{2} b^{2} + b^{4} - 2 a^{2} c^{2} - 2 b^{2} c^{2} + c^{4}) = \\ = - [(a^{4} - 2 a^{2} b^{2} + b^{4} - 2 a^{2} c^{2} + 2 b^{2} c^{2} + c^{4}) - 4 b^{2} c^{2}] = \\ = - [{(a^{2} - b^{2} - c^{2})}^{2} - {(2 b c)}^{2}] = {(2 b c)}^{2} - {(a^{2} - b^{2} - c^{2})}^{2} \end{matrix}

Felbontva az alapok összegének és különbségének szorzatára:

\begin{matrix} (2 b c + a^{2} - b^{2} - c^{2}) \cdot (2 b c - a^{2} + b^{2} + c^{2}) \end{matrix}

Itt mindkét tényező ismét két négyzet különbségeként írható fel, melyeket újból felbontva az eredeti kifejezést, négy elsőfokú összeg szorzataként kapjuk meg.

\begin{matrix} [a^{2} - (b^{2} - 2 b c + c^{2})] \cdot [(b^{2} + 2 b c + c^{2}) - a^{2}] = [a^{2} - {(b - c)}^{2}] \cdot \cdot [{(b + c)}^{2} - a^{2}] = \\ = {[a + (b - c)] \cdot [a - (b - c)]} \cdot {[(b + c) + a] \cdot [(b + c) - a]} = \\ = (a + b + c) \cdot (- a + b + c) \cdot (a - b + c) \cdot (a + b - c) . \end{matrix}