Kezdőlap


Feladat:	317. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1951/november, 121 - 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Jensen-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/augusztus: 317. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyezzünk most több pontban súlyokat a görbére. Kössük össze a pontokat abban a sorrendben, ahogy a görbén következnek és az utolsót kössük össze az elsővel. Így konvex sokszög keletkezik. A fizikából tudjuk, hogy ha ennek csúcsaiba súlyokat teszünk, akkor a súlypont a sokszög belsejében lesz. Miután pedig a görbe, amibe a sokszöget írtuk, konvex (alulról), így ez esetben is a görbe fölött lesz a súlypont. Ezt szigorúan bebizonyíthatjuk már meglevő ismereteinkből.
Az ( $x_{1}$ , $y_{1}$ ), ( $x_{2}$ , $y_{2}$ ), $...$ , ( $x_{k}$ , $y_{k}$ ) pontokban rendre elhelyezett $p_{1}$ , $p_{2}$ , $...$ , $p_{k}$ súlyok súlypontja a

\begin{matrix} (\frac{p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} + ... + p_{k} x_{k}}{p_{1} + p_{2} + ... + p_{k}}, \frac{p_{1} y_{1} + p_{2} y_{2} + ... + p_{k} y_{k}}{p_{1} + p_{2} + ... + p_{k}}) \end{matrix}

pont. Az állítást teljes indukcióval fogjuk igazolni.

k = 2

-re már láttuk az állítás helyességét. Tegyük fel, hogy

k = n - 1

-re már kiszámítottuk a súlypont koordinátáit

(n > 2)

n

darab pont súlypontjához úgy jutunk, hogy vesszük

n - 1

darab pont súlypontját, és ide képzeljük összpontosítva az

n - 1

darab pontba helyezett súlyokat. Ennek és az

n

-edik pontnak képezzük a súlypontját. Mivel feltevésünk szerint az

n - 1

pont súlypontjának pl. az abszcisszája

\frac{p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} + ... + p_{n - 1} x_{n - 1}}{p_{1} + p_{2} + ... + p_{n - 1}}

, a pontban elhelyezendő súly pedig

p_{1} + p_{2} + ... + p_{n - 1} = p

, így az

n

pont súlypontjának abszcisszája

\begin{matrix} \frac{p \frac{p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} + ... + p_{n - 1} x_{n - 1}}{p_{2} + p_{2} + ... + p_{n - 1}} + p_{n} x_{n}}{p + p_{n}} = \\ \frac{p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} + ... + p_{n - 1} x_{n - 1} + p_{n} x_{n}}{p_{1} + p_{2} + ... + p_{n - 1} + p_{n}} . \end{matrix}

Azt kaptuk tehát, hogy ha

n - 1

pontra helyes az állítás, akkor helyes

n

pontra is. Mivel 2-re már láttuk az állítás helyes voltát, ezzel megmutattuk, hogy általánosan érvényes. Az ordinátára szószerint ugyanígy következik az állítás helyessége.

Az eredményben az egyes pontok koordinátáinak teljesen szimmetrikus a szerepe. Így nyilvánvaló, hogy ha más sorrendben vesszük a pontokat, akkor is ugyanehhez a súlyponthoz kell jutnunk. Még akkor is ugyanehhez a súlyponthoz jutunk, ha a súlyokat csoportokba foglaljuk és az egyes csoportok súlypontjaiból számítjuk az egész rendszer súlypontját. Az első

m

és következő

n

pont súlypontjának abszcisszája

\begin{matrix} ξ_{1} = \frac{p_{1} x_{1} + \dots + p_{m} x_{m}}{p + \dots + p_{m}} és ξ_{2} = \frac{p_{m + 1} x_{1} + \dots + p_{m + n} x_{m + n}}{p_{m + 1} + \dots + p_{m + n}} . \end{matrix}

Ide a megfelelő súlyok összegét helyezve kapjuk az egész rendszer súlypontjára, hogy

\begin{matrix} \frac{(p_{1} + ... + p_{m}) ξ_{1} + (p_{m + 1} + ... + p_{m + n}) ξ_{2}}{p_{1} + ... + p_{m} + p_{m + 1} + ... + p_{m + n}} = \\ = \frac{p_{1} x_{1} + ... + p_{m} x_{m} + p_{m + 1} x_{m + 1} + ... + p_{m + n} x_{m + n}}{p_{1} + ... + p_{m} + p_{m + 1} + ... + p_{m + n}}, \end{matrix}

és ugyanígy számolhatunk az ordinátákra is.

Helyezzünk most az

f (x)

görbe

x_{1}

x_{2}

...

x_{k}

abszcisszájú pontjaiba rendre

p_{1}

p_{2}

...

p_{k}

súlyokat. Megmutatjuk, hogy a görbe akkor és csakis akkor konvex, ha

\begin{matrix} f (\frac{p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} + ... + p_{k} x_{k}}{p_{1} + p_{2} + ... + p_{k}}) < \\ < \frac{p_{1} f (x_{1}) + p_{2} f (x_{2}) + ... + p_{k} f (x_{k})}{p_{1} + p_{2} + ... + p_{k}} . & (4) \end{matrix}

k = 2

-re az (1) egyenlőtlenség tartalmazza az állítást; nagyobb

k

-kra teljes indukcióval fogjuk bizonyítani.

Tegyük fel, hogy

k = n - 1

-re már igazoltuk az állítást

(n > 2) : f (x)

akkor és csakis akkor konvex, ha bármely

x_{1}

...

x_{n - 1}

-re

\begin{matrix} f (\frac{p_{1} x_{1} + ... + p_{n - 1} x_{1}}{p_{1} + ... + p_{n - 1}}) < \frac{p_{1} f (x_{1}) + ... + p_{n - 1} f (x_{n - 1})}{p_{1} + ... + p_{n - 1}} . \end{matrix}

Ekkor ezen feltevés és (1) szerint, ha a függvény konvex, akkor

\begin{matrix} f (\frac{p_{1} x_{1} + ... + p_{n - 1} x_{n - 1} + p_{n} x_{n}}{p_{1} + ... + p_{n - 1} + p_{n}}) = \\ = f (\frac{(p_{1} + ... + p_{n - 1}) \frac{p_{1} x_{1} + ... + p_{n - 1} x_{n - 1}}{p_{1} + ... + p_{n - 1}} + p_{n} x_{n}}{(p_{1} + ... + p_{n - 1}) + p_{n}}) < \\ < \frac{(p_{1} + ... + p_{n - 1}) f (\frac{p_{1} x_{1} + ... + p_{n - 1} x_{n - 1}}{p_{1} + ... + p_{n - 1}}) + p_{n} f (x_{n})}{(p_{1} + ... + p_{n - 1}) + p_{n}} < \\ < \frac{(p_{1} + ... + p_{n - 1}) \frac{p_{1} f (x_{1}) + ... + p_{n - 1} f (x_{n - 1})}{p_{1} + ... + p_{n - 1}} + p_{n} f (x_{n})}{p_{1} + ... + p_{n - 1} + p_{n}} = \\ = \frac{p_{1} f (x_{1}) + ... + p_{n - 1} f (x_{n - 1}) + p_{n} f (x_{n})}{p_{1} + ... + p_{n - 1} + p_{n}} . \end{matrix}

Ebből következik, hogy állitásunk minden

k

-ra helyes. Megfordítva ha a (4) egyenlőtlenség fennáll, akkor a függvény konvex, hiszen (

1'

) a (4) egyenlőtlenségnek speciális esete.
Itt is írhatunk

\frac{p_{1}}{p_{1} + ... + p_{k}}

\frac{p_{2}}{p_{1} + ... + p_{k}}

...

\frac{p_{k}}{p_{1} + ... + p_{k}}

helyett

q_{1}

q_{2}

...

q_{k}

-t. A

p

-kkel együtt ezek is pozitívok és

q_{1} + q_{2} + ... + q_{k} = 1

.
Ekkor a (4) egyenlőtlenség így is írható

\begin{matrix} f (q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2} + ... + q_{k} x_{k}) < \\ < q_{1} f (x_{1}) + q_{2} f (x_{2}) + ... + q_{k} f (x_{k}) & (4') \end{matrix}

Ha speciálisan

q_{1} = q_{2} = ... = q_{k} = \frac{1}{k}

, akkor az

\begin{matrix} f (\frac{x_{1} + x_{2} + ... + x_{k}}{k}) < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + ... + f (x_{k})}{k} . \end{matrix}

Ha a függvény konvex, akkor ez is mindig teljesül.
A (4) és (

4'

) egyenlőtlenséget

k

-tagú súlyozott Jensen-egyenlőtlenségnek nevezzük. Az utolsó egyenlőtlenség a

k

-tagú szimmetrikus Jensen-egyenlőtlenség.