Kezdőlap


Feladat:	316. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1951/november, 119 - 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Jensen-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/augusztus: 316. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használtuk a ,,súly'', ,,súlyozott'' elnevezést, és valóban a szereplő kifejezések a súlypont kifejezéséhez hasonlítanak. Helyezzünk az $X$ -tengelyre az $x_{1}$ pontban $p_{1}$ súlyt, az $x_{2}$ pontban $p_{2}$ súlyt. Képzeljük ezeket súlytalan rúddal összekötve. A rúd súlypontja az elhelyezett súlyokkal fordított arányban osztja a rudat, vagyis abban az $x$ pontban lesz, melyre $\frac{x - x_{1}}{x_{2} - x} = \frac{p_{2}}{p_{1}}$ . Innen

\begin{matrix} x = \frac{p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2}}{p_{1} + p_{2}} = q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2}, ahol q_{1} = \frac{p_{1}}{p_{1} + p_{2}}, \\ q_{2} = \frac{p_{2}}{p_{1} + p_{2}}, q_{1} + q_{2} = 1. \end{matrix}

Ha viszont egy

f (x)

görbe

(x_{1}, y_{1}) = (x_{1}, f (x_{1}))

pontjában helyezünk el

p_{1}

súlyt, és az

(x_{2}, y_{2}) = (x_{2}, f (x_{1}))

pontban

p_{2}

súlyt, akkor hasonló számítást végezve az ordinátára is (és használva a fenti jelöléseket) az adódik, hogy a súlypont koordinátái

\begin{matrix} (q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2}; \end{matrix}

A Jensen-egyenlőtlenség tehát azt fejezi ki, hogy ha egy konvex görbe két pontjára súlyokat helyezünk, akkor a súlyok súlypontja a görbe fölött van.