Kezdőlap


Feladat:	315. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1951/november, 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/augusztus: 315. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az utoljára nyert egyenlőtlenség szerint ha $x_{1}$ , $x_{2}$ , $q_{1}$ , $q_{2}$ pozitív, $x_{1} \neq x_{2}$ és $q_{1} + q_{2} = 1$ , akkor

\begin{matrix} \frac{q_{1}}{x_{1}} + \frac{q_{2}}{x_{2}} > \frac{1}{q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2}} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2} > \frac{1}{\frac{q_{1}}{x_{1}} + \frac{q_{2}}{x_{2}}} . \end{matrix}

Vagyis azt bizonyítottuk utolsó átalakításunkkal, hogy a súlyozott számtani közép nagyobb, mint a súlyozott harmonikus. A (3) egyenlőtlenségből viszont

\begin{matrix} q_{1} x_{1}^{2} + q_{2} x_{2}^{2} > {(q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2})}^{2}, vagyis \sqrt[]{q_{1} x_{1}^{2} + q_{2} x_{2}^{2}} > \\ > q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2}, \end{matrix}

azaz a súlyozott négyzetes közép viszont a számtaninál is nagyobb.

q_{1} = q_{2} = \frac{1}{2}

-et írunk, akkor a már ismerős

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{2}} > \frac{x_{1} + x_{2}}{2} > \frac{2}{(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}})} = \frac{2 x_{1} x_{2}}{x_{1} + x_{2}} \end{matrix}

egyenlőtlenségekhez jutunk (feltéve, hogy

x_{1}

és

x_{2}

különböző pozitív számok).