Kezdőlap


Feladat:	314. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1951/november, 117 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/augusztus: 314. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Próbáljuk most ezen eredmény segítségével állapítani meg néhány függvényről, hogy konvex-e, vagy konkáv. Legyen pl. $f (x) = x^{2}$ és képezzük erre az ( $1'$ ) egyenlőtlenség két oldalának különbségét. Mivel $q_{1} + q_{2} = 1$

\begin{matrix} q_{1} x_{1}^{2} + q_{2} x_{2}^{2} - {(q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2})}^{2} = q_{1} (1 - q_{1}) x_{1}^{2} - 2 q_{1} q_{2} x_{1} x_{2} + \\ + q_{2} (1 - q_{2}) x_{2}^{2} = q_{1} q_{2} (x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) = \\ = q_{1} q_{2} {(x_{1} - x_{2})}^{2} > 0, & (3) \end{matrix}

feltéve, hogy

q_{1} > 0

q_{2} > 0

és

x_{1} \neq x_{2}

. Az

x^{2}

függvényről tehát ezúton is megmutattuk, bogy konvex.
Vizsgáljuk most a

\sqrt[]{x}

függvényt. Alakítsuk át a

q_{1} \sqrt[]{x_{1}} + q_{2} \sqrt[]{x_{2}} - \sqrt[]{q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2}}

kifejezést. Ezzel a gyökjelek miatt ebben az alakban nem tudunk mit kezdeni, de csökkenthetjük a kifejezésben a gyökjelek számát, ha szorzunk és osztunk

q_{1} \sqrt[]{x_{1}} + q \sqrt[]{x_{2}} + \sqrt[]{q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2}}

-vel. (Részben gyöktelenítjük a kifejezést.) Ekkor a számláló így alakítható át:

\begin{matrix} (q_{1} \sqrt[]{x_{1}} + q_{2} \sqrt[]{x_{2}} - \sqrt[]{q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2}}) (q_{1} \sqrt[]{x_{1}} + q_{2} \sqrt[]{x_{2}} + \sqrt[]{q_{1} x_{1} + q_{2} + x_{2}}) = \\ = {(q_{1} \sqrt[]{x_{1}} + q_{2} \sqrt[]{x_{2}})}^{2} - (q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2}) = q_{1} (q_{1} - 1) x_{1} + \\ + 2 q_{1} q_{2} \sqrt[]{x_{1} x_{2}} + q_{2} (q_{2} - 1) x_{2} = - q_{1} q_{2} (x_{1} - 2 \sqrt[]{x_{1} x_{2}} + x_{2}) = \\ = - q_{1} q_{2} {(\sqrt[]{x_{1}} - \sqrt[]{x_{2}})}^{2} . \end{matrix}

Ez mindig negatív, a nevező viszont mindig pozitív, tehát a kifejezés most mindig negatív lesz. A függvény tehát konkáv.
Vizsgáljuk az

x^{3}

függvényt hasonló módon:

\begin{matrix} q_{1} x_{1}^{3} + q_{2} x_{2}^{3} - {(q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2})}^{3} = q_{1} (1 - q_{1}) (1 + q_{1}) x_{1}^{3} - \\ - 3 q_{1}^{2} q_{2} x_{1}^{2} x_{2} - 3 q_{1} q_{2}^{2} x_{1} x_{2}^{2} + q_{2} (1 - q_{2}) (1 + q_{2}) x_{2}^{2} = \\ = q_{1} q_{2} [(2 q_{1} + q_{2}) x_{1}^{3} - 3 q_{1} x_{1}^{2} x_{2} - 3 q_{2} x_{1} x_{2}^{2} + (q_{1} + 2 q_{2}) x_{2}^{3}] = \\ = q_{1} q_{2} [q_{1} (2 x_{1}^{3} - 3 x_{1}^{2} x_{2} + x_{2}^{3}) + q_{2} (x_{1}^{3} - 3 x_{1} x_{2}^{2} + 2 x_{2}^{2})] . \end{matrix}

Erről már nem látszik olyan könnyen, hogy milyen az előjele. Vizsgáljuk az első zárójelben levő kifejezést és próbáljuk az első tagot egy teljes négyzet kifejezésbe foglalni, mely még

x_{1}

-gyel van szorozva. (Így tudjuk a harmadfokú tagot figyelembe venni.)

\begin{matrix} 2 x_{1}^{3} - 3 x_{1}^{2} x_{2} + x_{2}^{3} = 2 x_{1} (x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) + x_{1}^{2} x_{2} - \\ - 2 x_{1} x_{2}^{2} + x_{2}^{3} = 2 x_{1} {(x_{1} - x_{2})}^{2} + x_{2} (x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) = \\ = (2 x_{1} + x_{2}) {(x_{1} - x_{2})}^{2} . \end{matrix}

Hasonló érvényes a második kifejezésre is, csak ott

x_{1}

-et és

x_{2}

-t fel kell cserélni s így végül a fenti kifejezés így alakítható át:

\begin{matrix} q_{1} q_{2} {(x_{1} - x_{2})}^{2} [q_{1} (2 x_{1} + x_{2}) + q_{2} (x_{1} + 2 x_{2})] . \end{matrix}

Mivel

q_{1}

és

q_{2}

pozitív és

x_{1} \neq x_{2}

, ez biztosan pozitív, ha

x_{1}

és

x_{2}

pozitív, viszont biztosan negatív, ha

x_{1}

is,

x_{2}

is negatív. Az eredmény megegyezik azzal, amit az előző közleményben szemlélet alapján állapítottunk meg. A számolás kényelmetlenné válása viszont azt mutatja, hogy találtunk ugyan egy megbízható módszert a domborúság vizsgálására, de ez elég bonyolult módszer. Alkalmazzuk azért még egy egyszerű esetben: az

\frac{1}{x}

függvényre.

\begin{matrix} \frac{q_{1}}{x_{1}} + \frac{q_{2}}{x_{2}} - \frac{1}{q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2}} = \frac{(q_{1} x_{2} + q_{2} x_{1}) (q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2}) - x_{1} x_{2}}{x_{1} x_{2} (q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2})} . \end{matrix}

Alakítsuk át a számlálót. Itt egy 1-es helyébe lesz célszerű majd

q_{1} + q_{2}

-t írni:

\begin{matrix} q_{1} q_{2} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) + (q_{1}^{2} + q_{2}^{2} - 1) x_{1} x_{2} = q_{1} q_{2} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) + \\ + [(q_{1}^{2} - q_{1}) + (q_{2}^{2} - q_{2})] x_{1} x_{2} = q_{1} q_{2} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) - \\ - [q_{1} (1 - q_{1}) + q_{2} (1 - q_{2})] x_{1} x_{2} = q_{1} q_{2} (x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) = \\ = q_{1} q_{2} {(x_{1} - x_{2})}^{2} . \end{matrix}

A számláló tehát ismét pozitív, a nevező biztosan pozitív, ha

x_{1}

és

x_{2}

is pozitív és biztosan negatív, ha

x_{1}

is,

x_{2}

is negatív. A függvény tehát pozitív értékekre konvex, negatív értékekre konkáv.