Kezdőlap


Feladat:	313. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1951/november, 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Jensen-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/augusztus: 313. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Pontosan ilyen számítással kapjuk, hogy egy $g (x)$ függvény konkáv, ha bármely két pozitív $p_{1}$ , $p_{2}$ súlyra, ill. bármely két pozitív $q_{1}$ , $q_{2}$ súlyra, melyre $q_{1} + q_{2} = 1$

\begin{matrix} g (\frac{p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2}}{p_{1} + p_{2}}) > \frac{p_{1} g (x_{1}) + p_{2} g (x_{2})}{p_{1} + p_{2}}, \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} g (q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2}) > q_{1} g (x_{1}) + q_{2} g (x_{2}) . \end{matrix}

A tágabb értelemben konvex, ill. konkáv függvénynél az ívnek lehet közös pontja is a húrral, vagyis konvexre

\begin{matrix} f (q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2}) \leq q_{1} f (x_{1}) + q_{2} f (x_{2}); \end{matrix}

konkávra

\begin{matrix} g (q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2}) \geq q_{1} g (x_{1}) + q_{2} g (x_{2}) . \end{matrix}