Kezdőlap


Feladat:	309. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1951/december, 220 - 221. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egységtörtes felbontás, Számelmélet alaptétele, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/augusztus: 309. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük a felbontandó valódi törtben foglalt legnagyobb törzstörtet és vonjuk ki a törtből $\frac{a}{b} = \frac{1}{n_{1}} + \frac{a_{1}}{b_{1}}$ .
A maradékból megint vonjuk le a benne foglalt legnagyobb törzstörtet. $\frac{a}{b} =$ $= \frac{1}{n_{1}} + (\frac{1}{n_{2}} + \frac{a_{2}}{b_{2}})$ . A 308. feladatból tudjuk, hogy $a > a_{1} > a_{2}$ . Így, ha az eljárást folytatjuk, végül maga a maradék is törzstört lesz, és így

\begin{matrix} \frac{a}{b} = \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}} + \dots + \frac{1}{n_{k}} . \end{matrix}

Még azt lássuk be, hogy a felbontásban szereplő törzstörtek mind különbözőek. Ehhez elég lesz azt belátnunk, hogy mindegyik kisebb az előtte levőnél. Ha

\frac{1}{n_{1}}

az első törzstört, akkor a másodikat úgy kapjuk, hogy vesszük az

\frac{a}{b} - \frac{1}{n_{1}}

-nél kisebb legnagyobb törzstörtet. Azt kellene belátni, hogy ez kisebb mint

\frac{1}{n_{1}}

. Ehhez elég belátni, hogy

\frac{a}{b} - \frac{1}{n_{1}} < \frac{1}{n_{1}}

. De ez igaz, mert

\frac{a}{b} < \frac{1}{n_{1} - 1}

és így

\begin{matrix} \frac{a}{b} - \frac{1}{n_{1}} < \frac{1}{n_{1} - 1} - \frac{1}{n_{1}} = \frac{1}{n_{1} (n_{1} - 1)} ≦ \frac{1}{n} . \end{matrix}

Ha tehát tovább folytatjuk a felbontást, egyre kisebb törzstörteket kapunk, ezek között tehát nem lehetnek egyenlőek.
Ez a felbontás nyilván nem egyértelmű, mert, ha

\frac{a}{b} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ... +

+ \frac{1}{a_{n - 1}} + \frac{1}{a_{n}}

akkor felhasználva, hogy

\frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{a_{n} + 1} + \frac{1}{a_{n} (a_{n} + 1)}

egyúttal

\frac{a}{b} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n + 1}} + \frac{1}{a_{n} + 1} + \frac{1}{a_{n} (a_{n} + 1)}