Kezdőlap


Feladat:	307. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1951/november, 160 - 161. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, Kocka, Ohm-törvény, Egyéb ellenállás-kapcsolások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/május: 307. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Előrebocsátjuk, hogy elágazásnál az egyes ágakban folyó áramerősségek összege egyenlő a főágban folyó áram erősségével: $i = i_{1} + i_{2} + i_{3} + ...$ , és két párhuzamos ágban folyó áramok erőssége fordítva arányos az ágak ellenállásával: $i_{1} : i_{2} = r_{2} : r_{1}$ . Sorosan kapcsolt vezetők eredő ellenállása egyenlő az egyes ellenállások összegével: $r = r_{1} + r_{2} + r_{3} + ...$ , párhuzamosan kapcsolt vezetők eredő ellenállásának reciprok értéke egyenlő az egyes ellenállások reciprok értékének összegével:

\begin{matrix} \frac{1}{r} = \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}} + \dots \end{matrix}

a) Állítsuk függőlegesre azt a testátlót, melynek két végpontjára adjuk a feszültséget, e két pont legyen

A

és

H

, feszültségük

V_{1}

és

V_{3}

Három‐három további csúcspont egy magasságban van (

B

C

és

D

, ezenkívül

E

F

és

G

) ezek feszültsége is közös,

V_{2}

ill.

V_{4}

, ami abból következik, hogy egyformán fölépített, egyenlő ellenállású vezetők kötik azokat össze mind az

A

, mind a

H

ponttal. A

V_{1}

és

V_{2}

feszültségű pontok között 3 drb. párhuzamosan kapcsolt 1

Ω

-os vezető halad, melyek eredő ellenállása 1/3

Ω

, ugyanennyi a

V_{3}

és

V_{4}

feszültségű pontokat összekötő vezetők eredő ellenállása is. A

V_{2}

és

V_{3}

feszültségű pontokat 6 vezető köti össze, ezek eredő ellenállása 1/6

Ω

. A teljes kockaváz ellenállása egy 1/3

Ω

-os, egy ehhez sorosan csatlakozó 1/6

Ω

-os, majd ismét sorosan csatlakozó 1/3

Ω

-os szakaszból tevődik össze, tehát 5/6

Ω

.
Az

A

és

H

pontokból kiinduló ágakban folyó áram erőssége

i / 3

, a többi ágban i/6 erősségű áram folyik.

b) Adjunk feszültséget az

A G

lapátló végpontjaira és állítsuk e lapátlót függőlegesre. Most

C

D

E

és

F

pontok feszültsége lesz közös, mégpedig azért, mert az

A

pontból ezekig a pontokig ugyanakkora a feszültségesés, mint amekkora e pontokból a

G

pontig. Jelöljük

A

pont feszültségét

V_{1}

-gyel,

G

pontét

V_{5}

-tel, a

C

D

E

és

F

pontok közös feszültségét

V_{3}

-mal.

Az áram

A

pontból a

V_{3}

feszültségű pontokhoz kétfajta úton mehet: közvetlenül az

A C

és

A F

Ω

-os vezetőkön, vagy

A

-tól

B

-ig és onnan kettéágazva

B D

és

B E

-n. E kettéágazás eredő ellenállása 1/2

Ω

A B

vezetődarabbal együtt

\frac{3}{2} Ω

. Az

A C

A B \binom{↗ D}{↘ E}

és

A F

vezetők eredő ellenállását a következőképpen számíthatjuk ki:

\begin{matrix} \frac{1}{r} = 1 + \frac{2}{3} + 1 = \frac{8}{3}, \end{matrix}

tehát

r = 3 / 8 Ω

, a teljes kockaváz ellenállása ennek kétszerese: 3/4

Ω

.
A

C D

és

E F

ágakban nem folyik áram (

i = 0

). Figyelembe véve, hogy

A C

és

A F

eredő ellenállása 1/2

Ω

, míg az

A B \binom{↗ D}{↘ E}

ágé 3/2

Ω

A C

-n és

A F

-en együttesen

3 / 4 i

A B \binom{↗ D}{↘ E}

-n

1 / 4 i

erősségű áram folyik át.

A C

és

A F

ágakban külön‐külön

3 / 8 i

az áramerősség, az

A B

ágban

1 / 4 i

, melyből

1 / 8 i

B D

, a másik

1 / 8 i

B E

ágon folyik. A szimmetriaviszonyok felhasználásával az alsó rész ágainak áramerősségei is megállapíthatók.