Kezdőlap


Feladat:	305. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kántor Sándor
Füzet:	1951/november, 158 - 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömb és részei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/május: 305. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Előrebocsátjuk, hogy két érintkező gömb egyetlen közös pontja, az érintési pont a két gömb középpontját összekötő egyenesen van. (Az érintési pontban ugyanis közös a két gömb érintősíkja. E síkra merőleges gömbsugarak az érintési ponton mennek át, tehát egy egyenesbe esnek.)

A feladat megoldását a Kürschák verseny 2. feladatára vezetjük vissza. Jelöljük a gömbök középpontjait

O_{1}

O_{2}

O_{3}

és

O_{4}

-gyel és messük a

g_{1}

g_{2}

és

g_{4}

gömböket az

O_{1}

O_{2}

O_{4}

pontokon átfektetett síkkal. Ez a sík a gömbökből 3, párosával érintkező főkört vág ki

g_{1}

és

g_{2}

érintési pontjából (mely nem más, mint a

g_{1}

és

g_{2}

gömbökből kivágott főkörök érintkezési pontja) vetítve a másik két érintkezési pontot, a

g_{4}

gömb főkörének, egyúttal tehát a

g_{4}

gömbnek magának is, egy átmérőjét nyerjük. A Kürschák verseny feladatának I. megoldásából közvetlenül látható, hogy a kérdéses átmérő párhuzamos az

O_{1} O_{2}

centrálissal. Ismételjük meg az előbbi eljárást a

g_{2}

g_{3}

és

g_{4}

, majd a

g_{3}

g_{1}

és

g_{4}

gömbökre, ezáltal egy-egy újabb átmérőhöz jutunk, melyek

O_{2} O_{3}

-mal, ill.

O_{3} O_{1}

-gyel párhuzamosak. A három átmérő tehát abban a síkban van, mely az

O_{4}

ponton megy és az

O_{1} O_{2} O_{3}

síkkal párhuzamos és így valóban a

g_{4}

gömb egyik főkörének három átmérőjéhez jutottunk.
Előfordulhat, hogy három gömb a negyedik belsejében van, azt belülről érintik. Feladatunkat ekkor is ugyanúgy vezetjük vissza a Kürschák verseny 2. feladatának megoldására, mint az előbbi esetben tettük. Ott kitértünk arra is, amikor az egyik kört a másik kettő belülről érinti.

Kántor Sándor