Kezdőlap


Feladat:	304. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barabás Gy.
Füzet:	1951/november, 158. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/május: 304. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A körbe, ill. körhöz írt szabályos $n$ -szög oldalai a kör középpontjából egyenlő szögek alatt látszanak, jelöljük az $n$ oldalú sokszög egy oldalának látószögét $4 α$ -val, ekkor a $2 n$ oldalú sokszög látószöge $2 α$ lesz.

Az ábrából

\begin{matrix} a_{n} = 2 r sin 2 α, \\ A_{n} = 2 r tg 2 α, A_{2 n} = 2 r tg α, \end{matrix}

tehát bizonyítandó összefüggésünk baloldala

\begin{matrix} \frac{1}{A_{2 n}} = \frac{1}{2 r tg α} = \frac{1}{2 r} \cdot \frac{cos α}{sin α} = \frac{1}{2 r} \cdot \frac{cos^{2} α}{sin α cos α} = \frac{1}{2 r} \cdot \frac{2 cos^{2} α}{sin 2 α} . \end{matrix}

Fejezzük ki

r

-rel és

α

-val a jobboldalt is

\begin{matrix} \frac{1}{A_{n}} + \frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{2 r tg 2 α} + \frac{1}{2 r sin 2 α} = \frac{1}{2 r} (\frac{cos 2 α}{sin 2 α} + \frac{1}{sin 2 α}) . \end{matrix}

Ismeretes, hogy

cos 2 α + 1 = 2 cos^{2} α

, amelyet behelyettesítve a jobboldal előbb nyert értékébe, látjuk, hogy a bizonyítandó összefüggés valóban fennáll.