Kezdőlap


Feladat:	303. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fülöp János
Füzet:	1951/november, 156 - 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyszögek szerkesztése, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/május: 303. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a négyszög csúcspontjait $A$ , $B$ , $C$ és $D$ -vel, az átlók metszéspontját $M$ -mel, az $e$ ill. $f$ átló felezéspontját $E$ -vel, ill. $F$ -fel, $E M$ szakaszt $x$ -szel, $F M$ szakaszt $y$ -nal, végül az átlók szögét $α$ -val.

Az átlók a négyszöget négy háromszögre bontják. Fejezzük ki az

A B M

háromszögből

a^{2}

-et, a cosinus tétel segítségével, majd

B C M

háromszögből

b^{2}

-et és így tovább.

\begin{matrix} a^{2} = {(\frac{e}{2} - x)}^{2} + {(\frac{f}{2} - y)}^{2} - 2 (\frac{e}{2} - x) (\frac{f}{2} - y) cos α = \\ = \frac{e^{2}}{4} - e x + x^{2} + \frac{f^{2}}{4} - f y + y^{2} - \frac{e f}{2} cos α + f x cos α + e y cos α - 2 x y cos α, \\ b^{2} = {(\frac{e}{2} - x)}^{2} + {(\frac{f}{2} + y)}^{2} - 2 (\frac{e}{2} - x) (\frac{f}{2} + y) cos (180^{\circ} - α) = \\ = \frac{e^{2}}{4} - e x + x^{2} + \frac{f^{2}}{4} + f y + y^{2} + \frac{e f}{2} cos α - f x cos α + e y cos α - 2 x y cos α, \\ c^{2} = {(\frac{e}{2} + x)}^{2} + {(\frac{f}{2} + y)}^{2} - 2 (\frac{e}{2} + x) (\frac{f}{2} + y) cos α = \\ = \frac{e^{2}}{4} + e x + x^{2} + \frac{f^{2}}{4} + f y + y^{2} - \frac{e f}{2} cos α - f x cos α - e y cos α - 2 x y cos α, \\ d^{2} = {(\frac{e}{2} + x)}^{2} + {(\frac{f}{2} - y)}^{2} - 2 (\frac{e}{2} + x) (\frac{f}{2} - y) cos (180^{\circ} - α) = \\ = \frac{e^{2}}{4} + e x + x^{2} + \frac{f^{2}}{4} - f y + y^{2} + \frac{e f}{2} cos α + f x cos α - e y cos α - 2 x y cos α . \end{matrix}

A négy egyenletet összeadva és rendezve

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = e^{2} + f^{2} + 4 (x^{2} + y^{2} - 2 x y cos α) . \end{matrix}

Ámde az

E M F

háromszögből

g^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y cos α

, tehát

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = e^{2} + f^{2} + 4 g^{2} . \end{matrix}

Fülöp János

Megoldotta: Dancs I., Kántor S.

Megjegyzés. A tétel konkáv négyszögre is érvényes, a bizonyítás menete ugyanaz, mint a tárgyalt esetben.