A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük az oldal felezőpontját -vel, az oldal felezőpentját -fel.
a) Mivel rajta van az oldal felezőmerőlegesén, azért háromszög egyenlőszárú, következőleg az -nál és -nél egy ívvel jelzett szögek egyenlők. Hasonló okból egyenlő az -nál megjelölt szög a -nél egy ívvel megjelölttel is. A felezőmerőlegesek által bezárt, két ívvel megjelölt szög -t -ra egészíti ki, mert szárai száraira merőlegesek, ugyanígy -ra egészíti ki -t a -nél vagy -nél egy ívvel megjelölt szög is. Eszerint az négyszög húrnégyszög, ugyancsak húrnégyszög az négyszög is, tehát az és pontokon átmenő kör átmegy a és ponton is.
b) A kör sugarát ki tudnánk számítani, ha ismernénk a háromszögnek -val jelölt szögét, mert az egyenlőszárú háromszöget szögfelezőjével két derékszögű háromszögre bontva Ámde a középponti szöghöz tartozó pontnál fekvő kerületi szög az háromszögnek külső szöge, így . Ennek az összefüggésnek figyelembevételével .
c) Két görbe akkora szög alatt metszi egymást, amekkorát a metszéspontban meghúzott érintők bezárnak. Kör esetében az érintők szöge helyett vehetjük a metszésponthoz húzott két sugár szögét, mert e szög szárai merőlegesek az érintőkre. Eszerint feladatunk és egyenesek szögét meghatározni. Az így tehető össze: Figyelemmel arra, hogy pont a háromszög köré írható kör középpontja, , mint a kerületi szöghöz tartozó középponti szög. Ugyanígy , de ennek a szögnek szögfelezője, miután az háromszög és az háromszög tükrös helyzetű, az egyenesre vonatkozólag. Eszerint | | A két kör szögén azonban azt a szöget értjük, amelyet az érintőknek a másik kört nem metsző félegyenesei zárnak be egymással. Ez most hegyesszög, jelöljük -vel,
Megoldotta: Kántor S.
II. megoldás az és pontokra. a) Megmutatjuk, hogy az , és pontokból a távolság egyenlő szög alatt látszik. Ebből következik, hogy az öt ponton át kört lehet rajzolni. pontból a távolság szög alatt látszik, ez a szög ugyanis középponti szöge az csúcsnál fekvő kerületi szögnek. pontból azon szög alatt látszik, mely az egyenlőszárú háromszögnek külső szöge, e látószög tehát szintén ; -ből látószöge szintén , mint a egyenlőszárú háromszög külső szöge.
c) Keressük -nek a oldal felező merőlegesével, (-val) bezárt szögét. Tükrözzük a háromszöget a kérdéses oldalfelező merőlegesre, pont tükörképét jelöljük -gal, tükörképe , -é pedig lesz. rajta van a háromszög köré írható körön, e körnek középponti szöge (egyúttal a keresett szög kétszerese). Eszerint a keresett szög egyenlő a köré írt kör ívén álló kerületi szöggel, tehát pl. -gel. Ámde (Az ábrába a háromszög teljes tükrözését nem rajzoltuk bele, csak az pontot). Az ábra c) ponthoz tartozó részét szaggatottan rajzoltuk, a háromszög szögeinek a félreértések elkerülése kedvéért a csúcsszöget jelöltük meg. |
|