Feladat: 301. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kántor S. ,  Kovács László 
Füzet: 1951/november, 154 - 155. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Hossz, kerület, Húrnégyszögek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1951/május: 301. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük az AC oldal felezőpontját E-vel, az AB oldal felezőpentját F-fel.

 
 

a) Mivel B' rajta van az AB oldal felezőmerőlegesén, azért AB'B háromszög egyenlőszárú, következőleg az A-nál és B-nél egy ívvel jelzett szögek egyenlők. Hasonló okból egyenlő az A-nál megjelölt szög a C-nél egy ívvel megjelölttel is.
A felezőmerőlegesek által bezárt, két ívvel megjelölt szög α-t 180-ra egészíti ki, mert szárai α száraira merőlegesek, ugyanígy 180-ra egészíti ki α-t a B-nél vagy C-nél egy ívvel megjelölt szög is. Eszerint az A'B'CC' négyszög húrnégyszög, ugyancsak húrnégyszög az A'B'BC' négyszög is, tehát az A'B' és C' pontokon átmenő kör átmegy a C és B ponton is.
 

b) A kör ϱ sugarát ki tudnánk számítani, ha ismernénk a COB háromszögnek 2ω-val jelölt szögét, mert az egyenlőszárú háromszöget 2ω szögfelezőjével két derékszögű háromszögre bontva
sinω=a2:ϱ,innenϱ=a2sinω.
Ámde a 2ω középponti szöghöz tartozó B' pontnál fekvő kerületi szög az AB'B háromszögnek külső szöge, így ω=2α. Ennek az összefüggésnek figyelembevételével ϱ=a2sin2α.
 

c)1 Két görbe akkora szög alatt metszi egymást, amekkorát a metszéspontban meghúzott érintők bezárnak. Kör esetében az érintők szöge helyett vehetjük a metszésponthoz húzott két sugár szögét, mert e szög szárai merőlegesek az érintőkre. Eszerint feladatunk AA' és A'O egyenesek szögét meghatározni. Az AA'O így tehető össze:
AA'O=AA'B+BA'O.
Figyelemmel arra, hogy A' pont a háromszög köré írható kör középpontja, AA'B=2γ, mint a γ kerületi szöghöz tartozó középponti szög. Ugyanígy BA'C=2α, de ennek a szögnek A'O szögfelezője, miután az A'OB háromszög és az A'OC háromszög tükrös helyzetű, az A'O egyenesre vonatkozólag. Eszerint
BA'O=α,továbbáAA'O=2γ+α.
A két kör szögén azonban azt a szöget értjük, amelyet az érintőknek a másik kört nem metsző félegyenesei zárnak be egymással. Ez most hegyesszög, jelöljük φ-vel,
φ=180-AA'O=180-(2γ+α)=α+β+γ-(2γ+α)=β-γ.

 

Kovács László
 

Megoldotta: Kántor S.
 

II. megoldás az a) és c) pontokra.
a) Megmutatjuk, hogy az A', B' és C' pontokból a BC távolság egyenlő szög alatt látszik. Ebből következik, hogy az öt ponton át kört lehet rajzolni. A' pontból a CB távolság 2α szög alatt látszik, ez a szög ugyanis középponti szöge az A csúcsnál fekvő α kerületi szögnek. B' pontból BC azon szög alatt látszik, mely az AB'B egyenlőszárú háromszögnek külső szöge, e látószög tehát szintén 2α; C'-ből BC látószöge szintén 2α, mint a CC'A egyenlőszárú háromszög külső szöge.
 

c) Keressük AA'-nek a CB oldal felező merőlegesével, (A'O-val) bezárt szögét. Tükrözzük a háromszöget a kérdéses oldalfelező merőlegesre, A pont tükörképét jelöljük A*-gal, B tükörképe C, C-é pedig B lesz. A* rajta van a háromszög köré írható körön, A*A'A e körnek középponti szöge (egyúttal a keresett szög kétszerese). Eszerint a keresett szög egyenlő a köré írt kör A*A ívén álló kerületi szöggel, tehát pl. A*CA-gel. Ámde
A*CA=A*CB-ACB=β-γ.
(Az ábrába a háromszög teljes tükrözését nem rajzoltuk bele, csak az A* pontot).
1Az ábra c) ponthoz tartozó részét szaggatottan rajzoltuk, a háromszög szögeinek a félreértések elkerülése kedvéért a csúcsszöget jelöltük meg.