Kezdőlap


Feladat:	298. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barabás Gy. , Dancs I. , Kántor S. , Kovács L. , Rédly E. , Reichlin V. , Zobor E.
Füzet:	1951/november, 151 - 152. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Geometriai egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/május: 298. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $a \leq b \leq c$ . A háromszögben két oldal különbsége kisebb a harmadiknál, tehát

\begin{matrix} c - b < a, c - a < b és b - a < c . \end{matrix}

Minthogy mindegyik egyenlőtlenség baloldalán pozitív szám van, tehát négyzetre emelés után is fennáll az egyenlőtlenség, vagyis

\begin{matrix} {(b - a)}^{2} < c^{2}, {(c - a)}^{2} < b^{2} és {(c - b)}^{2} < a^{2} . \end{matrix}

Ha a négyzeteket tagokra bontjuk és a három egyenlőtlenség megfelelő oldalait összeadjuk, akkor

\begin{matrix} 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 (a b + a c + b c) < a^{2} + b^{2} + c^{2}, \end{matrix}

amiből már következik, hogy

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2 (a b + a c + b c) . \end{matrix}

Megoldotta: Barabás Gy., Dancs I., Kántor S., Kovács L., Rédly E., Reichlin V., Zobor E.