Kezdőlap


Feladat:	293. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kántor S. , Zobor E.
Füzet:	1951/november, 148 - 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenlőtlenségek, Bernoulli-féle egyenlőtlenség, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/május: 293. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A tétel bizonyításához egy segédtételt használunk fel, a Bernoulli‐féle egyenlőtlenséget: ha $h > - 1$ és $n > 1$ , akkor

\begin{matrix} {(1 + h)}^{n} > 1 + n h . \end{matrix}

Ez sokféleképpen bizonyítható. Mi teljes indukcióval fogjuk igazolni.

n = 2

-re a tétel igaz, mert

\begin{matrix} {(1 + h)}^{2} = 1 + 2 h + h^{2} > 1 + 2 h . \end{matrix}

Tegyük fel, hogy

n

-re igaz, bebizonyítjuk, hogy akkor

(n + 1)

-re is igaz.

\begin{matrix} {(1 + h)}^{n + 1} = {(1 + h)}^{n} (1 + h) > (1 + n h) (1 + h) = \\ = 1 + (n + 1) h + n h^{2} \\ {(1 + h)}^{n + 1} > 1 + (n + 1) h, \end{matrix}

amint állítottuk. E segédtétel birtokában tételünket így bizonyítjuk:

\begin{matrix} n^{n} > {(n + 1)}^{n - 1} \\ \frac{n^{n}}{{(n + 1)}^{n}} > \frac{1}{n + 1}, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} {(\frac{n}{n + 1})}^{n} = {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n} > \frac{1}{n + 1} . \end{matrix}

Elég ez utóbbi egyenlőtlenséget igazolni és ez valóban helyes, t. i. a Bernoulli-féle egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n} > 1 + n (- \frac{1}{n + 1}) = \frac{1}{n + 1} . \end{matrix}

Megoldotta: Kántor S.

II. megoldás: A bebizonyítandó egyenlőtlenséget így alakítjuk át:

\begin{matrix} \frac{n^{n}}{{(n + 1)}^{n - 1}} = (n + 1) {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n} > 1. \end{matrix}

Ezt teljes indukcióval igazoljuk,

n = 2

-re a baloldalon

4 / 3

áll.
Ha

n = k - 1

-re igazoltuk az állítást:

k \cdot {(1 - \frac{1}{k})}^{k - 1} > 1

, akkor

n = k

-t téve

\begin{matrix} (k + 1) {(1 - \frac{1}{k + 1})}^{k} = k {(1 - \frac{1}{k + 1})}^{k - 1} > k {(1 - \frac{1}{k})}^{k - 1}, \end{matrix}

ami feltevés szerint nagyobb 1-nél. Ezzel bizonyítottuk állításunkat.
Megoldotta: Zobor E.