Kezdőlap


Feladat:	292. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barabás Gy. , Kántor S. , Villányi O.
Füzet:	1951/november, 146 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/május: 292. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A számláló első tényezőjét osszuk $y$ -nal, a másodikat $x$ -szel, a harmadikat $z$ -vel. Így a bizonyítandó egyenlőtlenség a következőképpen alakul.

\begin{matrix} (1 + \frac{x + z}{y}) (1 + \frac{y - z}{x}) (1 + \frac{x - y}{z}) \geq 3. \end{matrix}

A feltételből kifolyólag a következő helyettesítés alkalmazható:

\begin{matrix} x = y (1 + u), z = y (1 - v), hol u \geq 0, és 1 > v \geq 0. \end{matrix}

Ebből

\frac{x + z}{y} = 2 + u - v

;

y - z = y v

, így

\frac{y - z}{x} = \frac{v}{1 + u}

és

x - y = y u

, egyenletből

\frac{x - y}{z} = \frac{u}{1 - v}

.
Így a bizonyítandó egyenlőtlenséget a következő alakra hoztuk:

\begin{matrix} (3 + u - v) (1 + \frac{v}{1 + u}) (1 + \frac{u}{1 - v}) \geq 3. \end{matrix}

Mivel

v < 1

, ha

u \geq 1

\begin{matrix} (3 + u - v) > 3, 1 + \frac{v}{1 + u} \geq 1 és 1 + \frac{u}{1 - v} > 1, \end{matrix}

az egyenlőtlenség igaz.
Ha

\begin{matrix} u < 1, akkor (3 + u - v) \geq 3 - v és 1 + \frac{u}{1 - v} \geq 1. \end{matrix}

Így

\begin{matrix} (3 + u - v) (1 + \frac{v}{1 + u}) \cdot (1 + \frac{u}{1 - v}) \geq \\ \geq (3 - v) (1 + \frac{v}{1 + u}) = 3 - v + \\ + (3 - v) \frac{v}{1 + u} \geq 3 - v + \frac{2 v}{1 + u} = 3 + \frac{2 v - v (1 + u)}{1 + u} = \\ = 3 + v \frac{1 - u}{1 + u} \geq 3 mert u < 1 -ből \frac{1 - u}{1 + u} > 0. \end{matrix}

Egyenlőség csak akkor áll fent, ha

u = v = 0

II. megoldás. A feltételből következik, hogy léteznek olyan nem negatív

n

és

m

számok, hogy

x = z + m + n

és

y = z + n

legyen.
Szorozzunk át a pozitív

x y z

-vel, majd alkalmazzuk az előbbi helyettesítést. Az igazolandó egyenlőtlenség ezek után így alakul:

\begin{matrix} (3 z + 2 n + m) (z + 2 n + m) (z + m) \geq 3 z (z + n + m) \cdot (z + n) . \end{matrix}

Egyoldalra hozva:

\begin{matrix} (3 z + 2 n + m) (z + 2 n + m) (z + m) - 3 z (z + n + m) \cdot (z + n) = \\ = (3 z + 2 n + m) (z + n + m) \cdot (z + m) - 3 z (z + n + m) (z + n) + \\ + n (3 z + 2 n + m) (z + m) \geq (3 z + 2 n) z (z + n + m) - \\ - 3 z (z + n) \cdot (z + n + m) + n (z + n + m) z = \\ = [3 z + 2 n - 3 \cdot (z + n) + n] \cdot (z + n + m) z = \\ = (3 z + 2 n - 3 z - 3 n + n) \cdot (z + n + m) z = 0. \end{matrix}

Egyenlőség csak akkor állhat, ha

n = m = 0