Kezdőlap


Feladat:	291. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Barabás Gy. , Kántor Sándor , Kovács L. , Villányi O. , Zatykó L.. , Zobor Ervin
Füzet:	1951/november, 145 - 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/május: 291. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Alkalmazzuk a teljes indukció módszerét. $n = 1$ esetén $(1 + 2) (1 + 2^{2}) = 15 = 2^{2^{2}} - 1$ .

Tegyük most fel, hogy

\begin{matrix} (1 + 2) (1 + 2^{2}) ... (1 + 2^{2^{k}}) = 2^{2^{k + 1}} - 1, \end{matrix}

ekkor

\begin{matrix} (1 + 2) (1 + 2^{2}) ... (1 + 2^{2^{k}}) (1 + 2^{2^{k + 1}}) = \\ = (2^{2^{k + 1}} - 1) (2^{2^{k + 1}} + 1) = 2^{2^{k + 2}} - 1, \end{matrix}

vagyis állításunkat igazoltuk.

Zobor Ervin

Megoldotta: Villányi O.

II. megoldás.

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

azonosság alapján:

\begin{matrix} 2^{2^{n + 1}} - 1 = (2^{2^{n}} + 1) (2^{2^{n}} - 1) = (2^{2^{n}} + 1) = (2^{2^{n}} + 1) (2^{2^{n - 1}} + 1) (2^{2^{n - 1}} - 1) = \\ = (2^{2^{n}} + 1) (2^{2^{n - 1}} + 1) ... (2^{2} + 1) (2 + 1) . \end{matrix}

Kántor Sándor

Megoldotta: Barabás Gy., Kovács L., Zatykó L.