Feladat: 290. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kántor Sándor ,  Kovács László ,  Rédly E. ,  Zobor E. 
Füzet: 1951/november, 144 - 145. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1951/május: 290. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Mivel n csak pozitív egész értékeket vehet fel, próbálkozzunk a teljes indukció módszerével. n=1 esetén a kifejezés értéke éppen 24, tehát a tétel igaz. Tegyük most fel, hogy k4+2k3+11k2+10k osztható 24-gyel és bizonyítsuk be, hogy ekkor (k+1)4+2(k+1)3+11(k+1)2+10(k+1) is osztható 24-gyel. Ehhez nyilván elég belátni, hogy az utóbbi két kifejezés különbsége: 4k3+12k2+32k+24 osztható 24-gyel.

4k3+12k2+32k+24=4k3+12k2+8k+24(k+1).
Most már csak azt kell igazolni, hogy
 

4k3+12k2+8k=4(k3+3k2+2k) mindig osztható 24-gyel, vagyis, hogy k3+3k2+2k mindig osztható 6-tal. Ez azonban mindig osztható 2-vel, mert az első 2 tag egyező párosságú, a harmadik pedig páros, 3-mal szintén mindig osztható: ha k=3l ez triviális, ha k=3l±1 a 3-mal nem osztható tagok összege ±1±2=±3-at ad maradékul.
 

Kántor Sándor
 

Megoldotta: Zobor E.
 

II. megoldás. Az oszthatóság igazolására célszerű a kifejezést szorzattá alakítani.
n4+2n3+11n2+10n=n4+2n3+n2+10n2+10n==(n2+n)2+10(n2+n)=(n2+n)(n2+n+10)==n(n+1)[n(n+1)+10].


n(n+1) és n(n+1)+10 mindketten párosak, sőt az egyik mindig osztható 4-gyel. Ha ugyanis n(n+1) nem osztható 4-gyel, vagyis n(n+1)=4k+2, akkor n(n+1)+10=4k+12 osztható 4-gyel. A szorzat tehát mindig osztható 8-cal.
Most már csak azt kell belátnunk, hogy 3-mal is osztható.
Ha n(n+1) osztható 3-mal, akkor tételünk igaz. Ha n(n+1) nem osztható 3-mal, vagyis n=3k+1 és így n(n+1)=3l+2, akkor n(n+1)+10=3l+12 osztható 3-mal.
 

Kovács László
 

Megoldotta: Rédly E.