Feladat: 288. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kántor S. ,  Kovács L. ,  Vida Piroska ,  Zobor Ervin 
Füzet: 1951/november, 143 - 144. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Köbszámok összege, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1951/május: 288. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Állításunk a következőképpen fogalmazható:

m3=a2-b2=(a+b)(a-b)
Ennek az egyenletnek fenn kell állnia minden egész ,,m''-re, tehát prímszámokra is, ami kézenfekvővé teszi a gondolatot, hogy m3-t a következőképpen bontsuk fel:
m2=a+bm=a-b
Ezt a két egyenletet ,,a''-ra és ,,b''-re megoldjuk:
a=m2+m2,b=m2-m2,
ahol ,,a'' és ,,b'' mindig egész szám, mivel a számláló egyező párosságú számok összege, illetve különbsége. Ilyen módon tehát egész ,,a'' és ,,b'' minden m-hez található.
 

Vida Piroska
 

Megoldotta: Kántor S., Kovács L., Zobor E.
 

Megjegyzés: Ha m összetett szám, akkor másképpen is felbontható egyező párosságú tényezők szorzatára, s így két négyzetszám összegére is, pl. 63=62⋅6=18⋅12. Innen 63=212-152=152-32.
 

II. megoldás: Állításunkat azonnal igazolhatjuk, ha tudjuk, hogy köbszámok véges sorának összege1
∑k=1Nk3=[N(N+1)2]2
Ezek alapján:
m3=∑k=1mk3-∑k=1m-1k3=[m(m+1)2]2-[m(m-1)2]2.

Zobor Ervin
1Soktagú összegeket szokás a ∑ jellel összefoglalni oly módon, hogy a jel után írjuk az általános tagot (pl. a köbszámok összegénél k3-t) és a jel alá és fölé a betű helyébe helyettesítendő legkisebb és legnagyobb értéket. Ezzel a jelöléssel tehát pl. 13+23+23+...+m3=∑k=1mk3.